18 Demuestre que para ningún par de enteros $a \geq 1, n \geq 1$ la suma \[1+\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+2a}+\cdots+\frac{1}{1+na}\] es un entero. Amir

24 Sean $a$ y $b$ enteros coprimos, mayores o iguales a $1$. Demuestre que todos los enteros $n$ mayores o iguales a $(a - 1)(b - 1)$ pueden escribirse de la forma: \[n = ua + vb, \qquad \text{con} (u, v) \in \mathbb N \times \mathbb N.\] Amir

4 Problema 4. Ángel tiene un almacén que inicialmente contiene $100$ pilas de $100$ piezas de basura cada una. Cada mañana, Ángel realiza exactamente uno de los siguientes movimientos: (a) Limpia todas las piezas de basura de una sola pila. (b) Limpia una pieza de basura de cada pila. Sin embargo, cada noche, un demonio se cuela en el almacén y realiza exactamente uno de los siguientes movimientos: (a) Añade una pieza de basura a cada pila no vacía. (b) Crea una nueva pila con una pieza de basura. ¿Cuál es la primera mañana en la que Ángel puede garantizar haber limpiado toda la basura del almacén?

4 De una bolsa que contiene 5 pares de calcetines, cada par de un color diferente, se extrae una muestra aleatoria de 4 calcetines individuales. Cualquier par completo en la muestra se descarta y se reemplaza por un nuevo par extraído de la bolsa. El proceso continúa hasta que la bolsa está vacía o hay 4 calcetines de colores diferentes fuera de la bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de esta última alternativa? Amir

9 Los números reales $\alpha_1 , \alpha_2, \alpha_3, \ldots, \alpha_n$ son positivos. Sea $h = \frac{n}{1/\alpha_1 + 1/\alpha_2 + \cdots + 1/\alpha_n}$ la media armónica, $g=\sqrt[n]{\alpha_1\alpha_2\cdots \alpha_n}$ la media geométrica, y $a=\frac{\alpha_1+\alpha_2+\cdots + \alpha_n}{n}$ la media aritmética. Demuestre que $h \leq g \leq a$, y que cada una de las igualdades implica la otra. Amir

5 Describa qué enteros positivos no pertenecen al conjunto \[E = \left\{ \lfloor n+ \sqrt n +\frac 12 \rfloor \mid n \in \mathbb N\right\}.\] Amir

8 La sucesión $(a_n)$ de números reales se define de la siguiente manera: \[a_1=1, \qquad a_2=2, \quad \text{y} \quad a_n=3a_{n-1}-a_{n-2} , \ \ n \geq 3.\] Demuestre que para $n \geq 3$ , $a_n=\left[ \frac{a_{n-1}^2}{a_{n-2}} \right] +1$ , donde $[x]$ denota el entero $p$ tal que $p \leq x < p + 1$ . Amir

3 ¿Es posible particionar el espacio euclidiano tridimensional en $1979$ subconjuntos mutuamente isométricos? Amir

4 Sea $ABC$ un triángulo con incírculo $(I)$, tangente a $BC$, $CA$, $AB$ en $D, E, F$ respectivamente. En la recta $DF$, tome los puntos $M, P$ tales que $CM \parallel AB$, $AP \parallel BC$. En la recta $DE$, tome los puntos $N, Q$ tales que $BN \parallel AC$, $AQ \parallel BC$. Denote $X$ como la intersección de $PE$ y $QF$, y $K$ como el punto medio de $BC$. Demuestre que si $AX = IK$, entonces $\angle BAC \le 60^o$.

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. El rayo $AD$ corta al rayo $BC$ en $P$. Sean $O, O'$ los circuncentros de los triángulos $PCD$ y $PAB$, respectivamente, y sean $H, H'$ los ortocentros de los triángulos $PCD$ y $PAB$, respectivamente. Demuestre que el circuncírculo del triángulo $DOC$ es tangente al circuncírculo del triángulo $AO'B$ si y solo si el circuncírculo del triángulo $DHC$ es tangente al circuncírculo del triángulo $AH'B$.