53 Una sucesión infinita creciente de enteros positivos $n_j (j = 1, 2, \ldots )$ tiene la propiedad de que para cierto $c$, \[\frac{1}{N}\sum_{n_j\le N} n_j \le c,\] para todo $N >0$. Demuestre que existen un número finito de sucesiones $m^{(i)}_j (i = 1, 2,\ldots, k)$ tales que \[\{n_1, n_2, \ldots \} =\bigcup_{i=1}^k\{m^{(i)}_1 ,m^{(i)}_2 ,\ldots\}\] y \[m^{(i)}_{j+1} > 2m^{(i)}_j (1 \le i \le k, j = 1, 2,\ldots).\]

46 Sea $K$ el conjunto $\{a, b, c, d, e\}$. $F$ es una colección de $16$ subconjuntos diferentes de $K$, y se sabe que cualesquiera tres miembros de $F$ tienen al menos un elemento en común. Demuestre que los $16$ miembros de $F$ tienen exactamente un elemento en común. Amir

23 Considere el conjunto $E$ que consiste en pares de enteros $(a, b)$, con $a \geq 1$ y $b \geq 1$, que satisfacen en el sistema decimal las siguientes propiedades: (i) $b$ se escribe con tres dígitos, como $\overline{\alpha_2\alpha_1\alpha_0}$, $\alpha_2 \neq 0$; (ii) $a$ se escribe como $\overline{\beta_p \ldots \beta_1\beta_0}$ para algún $p$; (iii) $(a + b)^2$ se escribe como $\overline{\beta_p\ldots \beta_1 \beta_0 \alpha_2 \alpha_1 \alpha_0}$. Encuentre los elementos de $E$. Amir

26 Sea $n$ un entero positivo. Si $4^n + 2^n + 1$ es un número primo, demuestre que $n$ es una potencia de tres. Amir

12 Consideramos un prisma que tiene como bases superior e inferior los pentágonos: $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ y $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}B_{5}$. Cada uno de los lados de los dos pentágonos y los segmentos $A_{i}B_{j}$ con $i,j=1,\ldots,5$ están coloreados de rojo o azul. En todo triángulo que tiene todos sus lados coloreados, existe un lado rojo y un lado azul. Demuestre que los 10 lados de las dos bases están coloreados del mismo color. Amir

29 Dados números reales $x_1, x_2, \dots , x_n \ (n \geq 2)$, con $x_i \geq \frac 1n \ (i = 1, 2, \dots, n)$ y con $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 = 1$, determine si el producto $P = x_1x_2x_3 \cdots x_n$ tiene un valor máximo y/o mínimo y, en caso afirmativo, proporcione dichos valores. Amir

54 Considere las sucesiones $(a_n), (b_n)$ definidas por \[a_1=3, \quad b_1=100 , \quad a_{n+1}=3^{a_n} , \quad b_{n+1}=100^{b_n} \] Encuentre el entero $m$ más pequeño para el cual $b_m > a_{100}.$ Amir

11 Demuestre que una pirámide $A_1A_2 \ldots A_{2k+1}S$ con aristas laterales iguales y ángulos espaciales iguales entre caras laterales adyacentes es regular. Amir

52 Sea $\lambda > 1$ un número real dado y $(n_k)$ una sucesión de enteros positivos tal que $\frac{n_{k+1}}{n_k}> \lambda$ para $k = 1, 2,\ldots$ Demuestre que existe un entero positivo $c$ tal que ningún entero positivo $n$ puede representarse de más de $c$ formas en la forma $n = n_k + n_j$ o $n = n_r - n_s$.

40 Un polinomio $P(x)$ tiene grado a lo sumo $2k$, donde $k = 0, 1, 2, \cdots$. Dado que para un entero $i$, la desigualdad $-k \le i \le k$ implica $|P(i)| \le 1$, demuestre que para todos los números reales $x$, con $-k \le x \le k$, se cumple la siguiente desigualdad: \[|P(x)| < (2k + 1)\dbinom{2k}{k}\]