4 De una bolsa que contiene 5 pares de calcetines, cada par de un color diferente, se extrae una muestra aleatoria de 4 calcetines individuales. Cualquier par completo en la muestra se descarta y se reemplaza por un nuevo par extraído de la bolsa. El proceso continúa hasta que la bolsa está vacía o hay 4 calcetines de colores diferentes fuera de la bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de esta última alternativa? Amir

10 Asigne a cada lado $b$ de un polígono convexo $P$ el área máxima de un triángulo que tiene a $b$ como lado y está contenido en $P$. Demuestre que la suma de las áreas asignadas a los lados de $P$ es al menos el doble del área de $P$. Valentin

2 Las tres aristas de una pirámide triangular tienen longitudes $a, b$ y $c$ y son perpendiculares entre sí por pares. Determine la altura de la pirámide. Además, demuestre que si la altura de la pirámide es constante, su volumen es mínimo si $a = b = c$.

1. En un círculo, $ AB$ y $ AC$ son dos cuerdas de igual longitud. ¿Cuántas cuerdas existen tales que $ AB$ y $ AC$ dividan a dichas cuerdas en tres partes de igual longitud?

6 Sea $n \in \mathbb{N}$ tal que $1 + 2 + ... + n$ es divisible por $3$. Los enteros $a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge 2$ tienen suma $n$ y satisfacen $1 + 2 + ... + a_1 \le \frac{1}{3}( 1 + 2 + ... + n )$ y $1 + 2 + ... + (a_1 + a_2) \le \frac{2}{3}( 1 + 2 + ... + n )$. Demuestre que existe una partición de $\{ 1, 2, ... , n\}$ en tres subconjuntos $A_1, A_2, A_3$ con cardinales $| A_i| = a_i, i = 1, 2, 3$, y con sumas iguales de sus elementos.

6 Demuestre que $\frac 12 \cdot \sqrt{4\sin^2 36^{\circ} - 1}=\cos 72^\circ$ . Amir

1 Sea $n \ge 3$ un entero positivo. Determine, en términos de $n$, cuántas ternas de conjuntos $(A,B,C)$ satisfacen las condiciones: $\bullet$ $A, B$ y $C$ son disjuntos dos a dos, es decir, $A \cap B = A \cap C = B \cap C = \emptyset$. $\bullet$ $A \cup B \cup C = \{ 1, 2, \dots, n \}$. $\bullet$ La suma de los elementos de $A$, la suma de los elementos de $B$ y la suma de los elementos de $C$ dejan el mismo resto al ser divididas por $3$. Nota: Uno o más de los conjuntos pueden ser vacíos.

2 Sea $ABCD$ un trapecio con lados paralelos $AB > CD$. Los puntos $K$ y $L$ se encuentran en los segmentos de recta $AB$ y $CD$, respectivamente, de tal manera que $AK/KB=DL/LC$. Suponga que existen puntos $P$ y $Q$ en el segmento de recta $KL$ que satisfacen \[\angle{APB} = \angle{BCD}\qquad\text{y}\qquad \angle{CQD} = \angle{ABC}.\] Demuestre que los puntos $P$, $Q$, $B$ y $C$ son concíclicos. Propuesto por Vyacheslev Yasinskiy, Ucrania

5 Un torneo $(n, k)$ es una competencia con $n$ jugadores llevada a cabo en $k$ rondas tal que: $(i)$ Cada jugador juega en cada ronda, y cada dos jugadores se enfrentan a lo sumo una vez. $(ii)$ Si el jugador $A$ se enfrenta al jugador $B$ en la ronda $i$, el jugador $C$ se enfrenta al jugador $D$ en la ronda $i$, y el jugador $A$ se enfrenta al jugador $C$ en la ronda $j$, entonces el jugador $B$ se enfrenta al jugador $D$ en la ronda $j$. Determine todos los pares $(n, k)$ para los cuales existe un torneo $(n, k)$. Propuesto por Carlos di Fiore, Argentina

1 Sea $f(x)$ la distancia de $x$ al cuadrado perfecto más cercano. Por ejemplo, $f(\pi) = 4 - \pi$. Sea $\alpha = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ y sea $m$ un entero tal que la sucesión $a_n = f(m \; \alpha^n)$ es acotada. Demuestre que $m=k^2$ o $m = 5k^2$ para algún entero $k$. Propuesto por Rodrigo Sanches Angelo (rsa365), Brasil.