7 Sea $V$ un conjunto finito y sean $g$ y $f$ dos funciones inyectivas y sobreyectivas de $V$ en $V$. Sean $T$ y $S$ dos conjuntos definidos de la siguiente manera: $S = \{w \in V: f(f(w)) = g(g(w))\}$ y $T = \{w \in V: f(g(w)) = g(f(w))\}$. Sabemos que $S \cup T = V$. Demuestre que para todo $w \in V$: $f(w) \in S$ si y solo si $g(w) \in S$.

5 Sean $ p,q,n$ tres enteros positivos tales que $ p + q < n$ . Sea $ (x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n})$ una $(n + 1)$-tupla de enteros que satisface las siguientes condiciones: (a) $ x_{0} = x_{n} = 0$ , y (b) Para cada $ i$ tal que $ 1\leq i\leq n$ , se cumple que $ x_{i} - x_{i - 1} = p$ o $ x_{i} - x_{i - 1} = - q$ . Demuestre que existen índices $ i < j$ con $ (i,j)\neq (0,n)$ , tales que $ x_{i} = x_{j}$ .

1 Encuentre todos los pares de números naturales $ (a, b)$ tales que $ 7^a - 3^b$ divide a $ a^4 + b^2$ . Autor: Stephan Wagner, Austria Dida

4 Determine si existen o no dos conjuntos infinitos disjuntos $ A$ y $ B$ de puntos en el plano que satisfagan las siguientes condiciones: a.) No hay tres puntos en $ A \cup B$ que sean colineales, y la distancia entre cualesquiera dos puntos en $ A \cup B$ es al menos 1. b.) Existe un punto de $ A$ en cualquier triángulo cuyos vértices estén en $ B,$ y existe un punto de $ B$ en cualquier triángulo cuyos vértices estén en $ A.$

4 Para todo entero $ k \geq 2,$ demuestre que $ 2^{3k}$ divide al número \[ \binom{2^{k + 1}}{2^{k}} - \binom{2^{k}}{2^{k - 1}} \] pero $ 2^{3k + 1}$ no lo divide. Autor: Waldemar Pompe, Polonia

$n$ $(n\ge10)$ equipos participaron en un torneo y jugaron en formato de todos contra todos. Después del torneo, no hubo empates y cuatro equipos tuvieron la misma puntuación. Demuestre que existen al menos dos ternas de equipos entre ellos tales que cada equipo en la terna ha vencido a los otros dos equipos de manera cíclica.

2 Encuentre todos los enteros positivos $m$ y $n$ sin divisores comunes mayores que 1 tales que $m^3 + n^3$ divida a $m^2 + 20mn + n^2$. (Profesor Yongjin Song)

3 Sea $p(x)$ un polinomio con coeficientes racionales, de grado al menos $2$. Suponga que una sucesión $(r_{n})$ de números racionales satisface $r_{n}= p(r_{n+1})$ para todo $n\geq 1$. Demuestre que la sucesión $(r_{n})$ es periódica. N.T.TUAN

Un cuadrado de $ (n - 1) \times (n - 1)$ se divide en $ (n - 1)^2$ cuadrados unitarios de la manera habitual. Cada uno de los $ n^2$ vértices de estos cuadrados debe ser coloreado de rojo o azul. Encuentre el número de coloraciones diferentes tales que cada cuadrado unitario tenga exactamente dos vértices rojos. (Dos esquemas de coloración se consideran diferentes si al menos un vértice está coloreado de manera distinta en los dos esquemas).

2 Si $a_1$, $a_2$ y $a_3$ son números reales no negativos para los cuales $a_1+a_2+a_3=1$, entonces demuestre la desigualdad $a_1\sqrt{a_2}+a_2\sqrt{a_3}+a_3\sqrt{a_1}\leq \frac{1}{\sqrt{3}}$