3 Sea $ABC$ un triángulo arbitrario ($AB \neq BC \neq AC \neq AB$) y sean $O, I, H$ su circuncentro, incentro y ortocentro (punto de intersección de las alturas), respectivamente. Demuestre que: 1) $\angle OIH > 90^0$ (2 puntos), 2) $\angle OIH > 135^0$ (7 puntos). Los puntos para 1) y 2) no son aditivos. Ovchinnikov

3 Demuestre que para todo entero positivo $n$ se cumple la desigualdad $\{n\sqrt{7}\}>\frac{3\sqrt{7}}{14n}$, donde $\{x\}$ es la parte fraccionaria de $x$.

2 En cada vértice de un $n$-gono regular se coloca exactamente una ficha. En cada paso se pueden intercambiar dos fichas adyacentes cualesquiera. Encuentre el número mínimo de pasos necesarios para alcanzar la disposición en la que cada ficha se desplaza $[\frac{n}{2}]$ posiciones en sentido horario desde su posición inicial. Ovchinnikov

7 Sean $a,b,c,d$ cuatro enteros positivos tales que $a>b>c>d$. Dado que $ab+bc+ca+d^2|(a+b)(b+c)(c+a)$, encuentre el valor mínimo de $\Omega(ab+bc+ca+d^2)$. Aquí $\Omega(n)$ denota el número de factores primos que tiene $n$. Por ejemplo, $\Omega(12)=3$.

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Su incírculo es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en los puntos $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Sean $P$, $Q$ y $R$ los circuncentros de los triángulos $AEF$, $BDF$ y $CDE$, respectivamente. Demuestre que los triángulos $ABC$ y $PQR$ son semejantes.

12.4 Encuentre todos los pares de enteros positivos $(n, k)$ tales que todos los enteros positivos impares $m$ suficientemente grandes son representables como $$m=a_1^{n^2}+a_2^{(n+1)^2}+\ldots+a_k^{(n+k-1)^2}+a_{k+1}^{(n+k)^2}$$ para algunos enteros no negativos $a_1, a_2, \ldots, a_{k+1}$.

5 Encuentre todas las funciones sobreyectivas $ f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ tales que para todo $ m,n \in \mathbb{N}$ y todo número primo $ p,$ el número $ f(m + n)$ es divisible por $ p$ si y solo si $ f(m) + f(n)$ es divisible por $ p$ . Autor: Mohsen Jamaali y Nima Ahmadi Pour Anari, Irán

1 Sean $a,b,c,d,e,f$ enteros positivos tales que $a+b+c+d+e+f=N$ y $ab+ac+bc=de+df+ef$. Si ${N}\mid{abc+def}$, demuestre que $N$ es compuesto.

6 Alice y Bob juegan ahora a un espectáculo de magia. Hay $101$ sombreros diferentes sobre la mesa y forman un círculo. En primer lugar, Bob elige un entero positivo $n$ (Alice no lo conoce). Luego, Bob coloca un conejo debajo de uno de los sombreros y Alice no sabe qué sombrero contiene al conejo. Cada vez, ella puede elegir un sombrero y ver si el conejo está debajo de él. Si no es así, Bob moverá el conejo del sombrero actual al $n$-ésimo sombrero en sentido horario. Repetirán estos pasos hasta que Alice encuentre al conejo. Demuestre que Alice puede encontrar al conejo en $201$ pasos.

5 Sean $a, b$ números reales con $a \neq 0$ y sea $$P(x)=ax^4-4ax^3+(5a+b)x^2-4bx+b.$$ Demuestre que todas las raíces de $P(x)$ son reales y positivas si y solo si $a=b$.