3 Dado un círculo y $2006$ puntos situados sobre este círculo. Albatross colorea estos $2006$ puntos con $17$ colores. Después de esto, Frankinfueter une algunos de los puntos mediante cuerdas de tal manera que los extremos de cada cuerda tengan el mismo color y dos cuerdas diferentes no tengan puntos en común (ni siquiera un extremo común). De este modo, Frankinfueter pretende dibujar tantas cuerdas como sea posible, mientras que Albatross intenta obstaculizarlo tanto como puede. ¿Cuál es el número máximo de cuerdas que Frankinfueter siempre podrá dibujar? darij

443 Dado un heptágono regular $A_1...A_7$. Demuestre que $$\frac{1}{|A_1A_5|} + \frac{1}{|A_1A_3| }= \frac{1}{|A_1A_7|}$$ .

441 Diez deportistas han participado en un torneo de tenis de mesa (cada pareja se ha enfrentado una sola vez, sin empates). Sea $x_i$ el número de victorias del $i$-ésimo jugador, y $y_i$ el número de derrotas. Demuestre que $$x_1^2 + ... + x_{10}^2 = y_1^2 + ... + y_{10}^2$$

Dos cuadrados iguales, uno con lados rojos y otro con lados azules, forman un octágono en su intersección. Demuestre que la suma de las longitudes de los lados rojos del octágono es igual a la suma de las longitudes de los lados azules del octágono.

6 Encuentre todas las funciones \( f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ \) tales que para todos los números reales positivos \( x \) e \( y \), se tiene \[ f(f(f(xy)) + x^2) = f(y)(f(x) - f(x + y)). \] Propuesto por Sobhan Aram

7 Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle A=90^\circ$. Sea $M$ el punto medio de $BC$, y $P$ un punto arbitrario en $AM$. La reflexión de $BP$ sobre $AB$ corta a las rectas $AC$ y $AM$ en $T$ y $Q$, respectivamente. Los circuncírculos de $BPQ$ y $ABC$ se cortan nuevamente en $F$. Demuestre que el centro del circuncírculo de $CFT$ yace sobre $BQ$. Propuesto por Mahdi Etesami Fard

5 En un triángulo escaleno $ABC$, $D$ es el punto de tangencia del incírculo con el lado $BC$. Los puntos $T_B$ y $T_C$ son las intersecciones de las bisectrices de $\angle ABC$ y $\angle ACB$ con el circuncírculo de $ABC$, respectivamente. Sea $X_B$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en el circuncírculo de $ACD$, y sea $X_C$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en el circuncírculo de $ABD$. Demuestre que los triángulos $B T_C X_C$ y $C T_B X_B$ son semejantes. Propuesto por Sobhan Aram

10 Un número \( n \) se llama afortunado si tiene al menos dos divisores primos distintos y puede escribirse de la forma: \[ n = p_1^{\alpha_1} + \cdots + p_k^{\alpha_k} \] donde \( p_1, \dots, p_k \) son números primos distintos que dividen a \( n \). (Nota: es posible que \( n \) tenga otros divisores primos que no estén entre \( p_1, \dots, p_k \)). Demuestre que para todo número primo \( p \), existe un número afortunado \( n \) tal que \( p \mid n \). Propuesto por Navid Safaei

4 $f(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros. Si los números $f(1),f(2),\ldots$ se dividen por un número $m$ de $100$ dígitos y los residuos son solo $0$ y $1$, entonces demuestre que $m=3^n$, $n\in\mathbb N$, o $m$ es un número con $11$ dígitos idénticos.

12 En un triángulo escaleno $ABC$, los puntos $Y$ y $X$ yacen sobre $AC$ y $BC$ respectivamente, tales que $BC \perp XY$. Los puntos $Z$ y $T$ son las reflexiones de $X$ y $Y$ con respecto a los puntos medios de los lados $BC$ y $AC$, respectivamente. El punto $P$ yace sobre el segmento $ZT$ tal que el circuncentro del triángulo $XZP$ coincide con el circuncentro del triángulo $ABC$. Demuestre que el círculo de los nueve puntos del triángulo $ABC$ pasa por el punto medio del segmento $XP$. Propuesto por Amirmahdi Mohseni