270 Un saltamontes está saltando en el ángulo $x\ge 0, y\ge 0$ del plano de coordenadas (esto significa que no puede aterrizar en un punto con coordenada negativa). Si está en el punto $(x,y)$, puede saltar al punto $(x+1,y-1)$ o al punto $(x-5,y+7)$. Dibuje el conjunto de tales puntos iniciales $(x,y)$ de modo que, habiendo comenzado desde allí, un saltamontes no pueda alcanzar ningún punto a una distancia mayor que $1000$ del punto $(0,0)$. Encuentre su área.

352 Encuentre todas las soluciones del sistema $$\begin{cases} y^2 = x^3 - 3x^2 + 2x \\ x^2 = y^3 - 3y^2 + 2y \end{cases}$$

286 La carga para la estación espacial "Salute" está empacada en contenedores. Hay más de $35$ contenedores y el peso total es de $18$ toneladas métricas. Hay $7$ naves de transporte de ida "Progress", cada una capaz de llevar $3$ toneladas métricas a la estación. Se sabe que son capaces de llevar un subconjunto arbitrario de $35$ contenedores. Demuestre que son capaces de llevar toda la carga.

284 Todos los números de dos dígitos desde $19$ hasta $80$ se escriben en una línea sin espacios. ¿Es el número obtenido $192021....7980$ divisible por $1980$ ?

328 Cada término, a partir del tercero, de dos sucesiones $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ es igual a la suma de los dos anteriores. Los primeros términos son: $a_1 = 1, a_2 = 2, b_1 = 2, b_2 = 1$. ¿Cuántos números naturales se encuentran en ambas sucesiones (pueden estar en diferentes posiciones)?

372 Demuestre que para todo $a$ y $b$ positivos se cumple la desigualdad $$\frac{(a+b)^2}{2} + \frac{a+b}{4} \ge a\sqrt b + b\sqrt a$$

Tres discos se tocan dos a dos desde el exterior en los puntos $X, Y, Z$. Luego, los radios de los discos se expandieron $2/\sqrt3$ veces, y los centros se mantuvieron. Demuestre que el triángulo $XYZ$ está completamente cubierto por los discos expandidos.

330 Se escribe un número real no negativo en cada vértice de un cubo. La suma de esos números es igual a $1$. Dos jugadores eligen por turnos las caras del cubo, pero no pueden elegir la cara paralela a una ya elegida (el primero mueve dos veces, el segundo una vez). Demuestre que el primer jugador puede lograr que el número en el vértice común a las tres caras elegidas no sea mayor que $1/6$.

272 Algunos números están escritos en el cuaderno. Podemos añadir a esa lista la media aritmética de algunos de ellos, si no es igual a un número que ya haya sido incluido en ella. Comencemos con dos números, $0$ y $1$. Demuestre que es posible obtener: a) $1/5$, b) un número racional arbitrario entre $0$ y $1$.

306 Sea un número natural que tiene la propiedad $P(k)$ si puede representarse como un producto de $k$ números naturales consecutivos mayores que $1$. a) Encuentre $k$ tal que exista $n$ que tenga las propiedades $P(k)$ y $P(k+2)$ simultáneamente. b) Demuestre que no existe ningún número que tenga las propiedades $P(2)$ y $P(4)$ simultáneamente.