207 ¿Cuál es el perímetro más pequeño de un polígono convexo de $32$ lados, cuyos vértices se encuentran en los nodos de una cuadrícula con lados de longitud $1$?

206 Sea un triángulo $ABC$ con área unitaria. El primer jugador elige un punto $X$ en el lado $[AB]$, luego el segundo elige un punto $Y$ en el lado $[BC]$ y, finalmente, el primero elige un punto $Z$ en el lado $[AC]$. El primero intenta obtener la mayor área posible del triángulo $XYZ$, mientras que el segundo intenta obtener la menor. ¿Qué área puede asegurar el primero y cómo?

284 Todos los números de dos dígitos desde $19$ hasta $80$ se escriben en una línea sin espacios. ¿Es el número obtenido $192021....7980$ divisible por $1980$ ?

223 Los números naturales $x_1$ y $x_2$ son menores que $1000$. Construimos una sucesión: $$x_3 = |x_1 - x_2|$$ $$x_4 = min \{ |x_1 - x_2|, |x_1 - x_3|, |x_2 - x_3|\}$$ $$...$$ $$x_k = min \{ |x_i - x_j|, 0 <i < j < k\}$$ $$...$$ Demuestre que $x_{21} = 0$.

144 Demuestre que para todo natural $n$ existe un número, que contiene solo los dígitos " $1$ " y " $2$ " en su notación decimal, que es divisible por $2^n$ (la $n$-ésima potencia de dos).

118 Dados números positivos $a,b,c,d$. Demuestre que el conjunto de desigualdades $$a+b<c+d$$ $$(a+b)(c+d)<ab+cd$$ $$(a+b)cd<ab(c+d)$$ contiene al menos una incorrecta.

094 Dado un octágono con ángulos iguales. Las longitudes de todos los lados son enteros. Demuestre que los lados opuestos son iguales por pares. redacción alternativa Considere un octágono con ángulos iguales y con lados racionales. Demuestre que tiene un centro de simetría.

162 a) Sean $a,n,m$ números naturales, $a > 1$. Demuestre que si $(a^m + 1)$ es divisible por $(a^n + 1)$, entonces $m$ es divisible por $n$. b) Sean $a,b,n,m$ números naturales, $a>1$, $a$ y $b$ son primos entre sí. Demuestre que si $(a^m+b^m)$ es divisible por $(a^n+b^n)$, entonces $m$ es divisible por $n$.

285 El lado vertical de un cuadrado se divide en $n$ segmentos. La suma de los segmentos con longitudes de números pares es igual a la suma de los segmentos con longitudes de números impares. Se trazan $n-1$ líneas paralelas a los lados horizontales desde los extremos de los segmentos y, de este modo, se obtienen $n$ franjas. Se traza la diagonal desde la esquina inferior izquierda hasta la superior derecha. Esta diagonal divide cada franja en partes izquierda y derecha. Demuestre que la suma de las áreas de las partes izquierdas de las franjas impares es igual a la suma de las áreas de las partes derechas de las franjas pares.

192 Dados dos círculos con radios $R$ y $r$, que se tocan entre sí por el lado exterior. Considere todos los trapecios tales que sus lados laterales toquen ambos círculos y sus bases toquen círculos diferentes. Encuentre el lado lateral más corto posible.