3 Sea $n$ un entero positivo. Consideramos el conjunto $P$ de todas las particiones de $n$ en una suma de enteros positivos (el orden es irrelevante). Para cada partición $\alpha$, sea $a_{k}(\alpha)$ el número de sumandos en $\alpha$ que son iguales a $k, k = 1,2,...,n.$ Demuestre que $\sum_{\alpha\in P}\frac{1}{1^{a_{1}(\alpha)}a_{1}(\alpha)!\cdot 2^{a_{2}(\alpha)}a_{2}(\alpha)!...n^{a_{n}(\alpha)}a_{n}(\alpha)!}=1.$ N.T.TUAN

6 Sea $ABC$ un triángulo y sean $I$ y $O$ su incentro y su circuncentro, respectivamente. Sea $\omega_A$ el círculo que pasa por $B$ y $C$ que es tangente al incírculo del triángulo $ABC$; los círculos $\omega_B$ y $\omega_C$ se definen de manera similar. Los círculos $\omega_B$ y $\omega_C$ se cortan en un punto $A'$ distinto de $A$; los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera similar. Demuestre que las rectas $AA'$, $BB'$ y $CC'$ son concurrentes en un punto sobre la recta $IO$. (Rusia) Fedor Ivlev

13 Sea $p$ un número primo y $a_1, a_2, \ldots, a_{(p+1)/2}$ números naturales distintos menores o iguales a $p.$ Demuestre que para cada número natural $r$ menor o igual a $p,$ existen dos números (posiblemente iguales) $a_i$ y $a_j$ tales que \[p \equiv a_i a_j \pmod r.\] Amir

10 ¿Cuál de los números $1, 2, \ldots , 1983$ tiene la mayor cantidad de divisores? Amir

2 ¿Es posible organizar enteros en las celdas de una cuadrícula infinita de modo que cada entero aparezca al menos en una celda, y la suma de cualesquiera $10$ números en una fila vertical u horizontal sea divisible por $101$?

2 Dos círculos $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $B$. Una recta que pasa por $A$ corta a $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ nuevamente en $C$ y $D$ respectivamente, de tal manera que $A$ se encuentra entre $C$ y $D$. La tangente en $A$ a $\Gamma_2$ corta a $\Gamma_1$ nuevamente en $E$. Sea $F$ un punto en $\Gamma_2$ tal que $F$ y $A$ se encuentran en lados opuestos de $BD$, y $2\angle AFC=\angle ABC$. Demuestre que la tangente en $F$ a $\Gamma_2$, y las rectas $BD$ y $CE$ son concurrentes.

1 Sean $A$, $B$ y $C$ puntos situados en un círculo $\Gamma$ con centro $O$. Suponga que $\angle ABC > 90$. Sea $D$ el punto de intersección de la recta $AB$ con la recta perpendicular a $AC$ en $C$. Sea $l$ la recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $AO$. Sea $E$ el punto de intersección de $l$ con la recta $AC$, y sea $F$ el punto de intersección de $\Gamma$ con $l$ que se encuentra entre $D$ y $E$. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos $BFE$ y $CFD$ son tangentes en $F$.

11 Un niño en el punto $A$ desea obtener agua de un lago circular y llevarla al punto $B$. Encuentre el punto $C$ en el lago tal que la distancia recorrida por el niño sea la menor posible, dado que la línea $AB$ y el lago son exteriores entre sí. Amir

8 ¿Pueden tres personas, que disponen de una motocicleta biplaza, recorrer una distancia de $70$ km en $3$ horas? La velocidad del peatón es de $5$ km/h y la velocidad de la motocicleta es de $50$ km/h.

5 Dado un entero positivo $n\ge 3$, coloree cada celda de una cuadrícula de $n\times n$ con uno de $\lfloor (n+2)^2/3\rfloor$ colores, utilizando cada color al menos una vez. Demuestre que existe algún subarreglo rectangular de $1\times 3$ o $3\times 1$ cuyas tres celdas estén coloreadas con tres colores diferentes. (Rusia) Ilya Bogdanov, Grigory Chelnokov, Dmitry Khramtsov