2 Dado un triángulo no isósceles $ABC$, sean $D, E$ y $F$ los puntos medios de los lados $BC, CA$ y $AB$ respectivamente. El círculo $BCF$ y la recta $BE$ se cortan de nuevo en $P$, y el círculo $ABE$ y la recta $AD$ se cortan de nuevo en $Q$. Finalmente, las rectas $DP$ y $FQ$ se cortan en $R$. Demuestre que el baricentro $G$ del triángulo $ABC$ se encuentra en el círculo $PQR$. (Reino Unido) David Monk

8 ¿Pueden tres personas, que disponen de una motocicleta biplaza, recorrer una distancia de $70$ km en $3$ horas? La velocidad del peatón es de $5$ km/h y la velocidad de la motocicleta es de $50$ km/h.

2 El número $328$ está escrito en la pizarra. Dos jugadores escriben alternadamente divisores positivos de $328$ en la pizarra, sujetos a las siguientes reglas: $\bullet$ No se puede escribir ningún divisor de un número escrito anteriormente. $\bullet$ El jugador que escribe $328$ pierde. ¿Quién tiene una estrategia ganadora, el primer jugador o el segundo jugador?

6 Sea $ABC$ un triángulo y sean $I$ y $O$ su incentro y su circuncentro, respectivamente. Sea $\omega_A$ el círculo que pasa por $B$ y $C$ que es tangente al incírculo del triángulo $ABC$; los círculos $\omega_B$ y $\omega_C$ se definen de manera similar. Los círculos $\omega_B$ y $\omega_C$ se cortan en un punto $A'$ distinto de $A$; los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera similar. Demuestre que las rectas $AA'$, $BB'$ y $CC'$ son concurrentes en un punto sobre la recta $IO$. (Rusia) Fedor Ivlev

16 ajedrecistas celebraron un torneo entre ellos: cada dos ajedrecistas jugaron exactamente una partida. Por la victoria en la partida se otorgaba 1 punto, por un empate 0.5 puntos, por la derrota 0 puntos. Resultó que exactamente 15 ajedrecistas compartieron el primer lugar. ¿Cuántos puntos pudo haber obtenido el decimosexto ajedrecista?

4 Sea $n$ un entero positivo. Sea $\sigma(n)$ la suma de los divisores naturales $d$ de $n$ (incluyendo $1$ y $n$). Decimos que un entero $m \geq 1$ es superabundante (P.Erdos, $1944$) si $\forall k \in \{1, 2, \dots , m - 1 \}$, $\frac{\sigma(m)}{m} >\frac{\sigma(k)}{k}.$ Demuestre que existe una infinidad de números superabundantes. Amir

7 Encuentre todos los números $x \in \mathbb Z$ para los cuales el número \[x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\] es un cuadrado perfecto. Amir

13 Sea $p$ un número primo y $a_1, a_2, \ldots, a_{(p+1)/2}$ números naturales distintos menores o iguales a $p.$ Demuestre que para cada número natural $r$ menor o igual a $p,$ existen dos números (posiblemente iguales) $a_i$ y $a_j$ tales que \[p \equiv a_i a_j \pmod r.\] Amir

4 Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $2^{2^n+1}+1$ es divisible por $n$ pero $2^n+1$ no lo es. (Rusia) Valery Senderov

2 Sea $x$ un número real que satisface $x^1 + x^{-1} = 3$. Demuestre que $x^n + x^{-n}$ es un entero positivo, luego demuestre que el entero positivo $x^{3^{1437}}+x^{3^{-1437}}$ es divisible por al menos $1439 \times 2^{1437}$ enteros positivos.