70 Sea $d_n$ el último dígito distinto de cero de la representación decimal de $n!$. Demuestre que $d_n$ es aperiódico; es decir, no existen $T$ y $n_0$ tales que para todo $n \geq n_0, d_{n+T} = d_n$. Amir

45 Sean dos vasos, numerados $1$ y $2$, que contienen una cantidad igual de líquido, leche en el vaso $1$ y café en el vaso $2$. Se realiza lo siguiente: se toma una cucharada de mezcla del vaso $1$ y se vierte en el vaso $2$, y luego se toma la misma cucharada de la nueva mezcla del vaso $2$ y se vierte de nuevo en el primer vaso. ¿Qué sucede después de que esta operación se repite $n$ veces, y qué sucede cuando $n$ tiende a infinito? Amir

25 ¿Cuántas permutaciones $a_1, a_2, \ldots, a_n$ de $\{1, 2, \ldots, n \}$ se ordenan de forma creciente mediante a lo sumo tres repeticiones de la siguiente operación: recorrer de izquierda a derecha e intercambiar $a_i$ y $a_{i+1}$ siempre que $a_i > a_{i+1}$ para $i$ desde $1$ hasta $n - 1$? Amir

30 Demuestre la existencia de una única sucesión $\{u_n\} \ (n = 0, 1, 2 \ldots )$ de enteros positivos tal que \[u_n^2 = \sum_{r=0}^n \binom{n+r}{r} u_{n-r} \qquad \text{para todo } n \geq 0\] Amir

27 Sean $a,b$ y $c$ enteros positivos, tales que no hay dos de ellos que tengan un divisor común mayor que $1$. Demuestre que $2abc-ab-bc-ca$ es el mayor entero que no puede expresarse de la forma $xbc+yca+zab$, donde $x,y,z$ son enteros no negativos.

69 Sea $A$ uno de los dos puntos distintos de intersección de dos círculos coplanares desiguales $C_1$ y $C_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Una de las tangentes comunes a los círculos toca a $C_1$ en $P_1$ y a $C_2$ en $P_2$, mientras que la otra toca a $C_1$ en $Q_1$ y a $C_2$ en $Q_2$. Sea $M_1$ el punto medio de $P_1Q_1$ y $M_2$ el punto medio de $P_2Q_2$. Demuestre que $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$.

2 Sean ${n}$ y $k$ enteros positivos. Se dan ${n}$ círculos en el plano. Cada dos de ellos se cortan en dos puntos distintos, y todos los puntos de intersección que determinan son distintos entre sí (es decir, no hay tres círculos que tengan un punto en común). Cada punto de intersección debe ser coloreado con uno de $n$ colores distintos de modo que cada color se utilice al menos una vez y exactamente $k$ colores distintos aparezcan en cada círculo. Encuentre todos los valores de $n\geq 2$ y $k$ para los cuales tal coloración es posible. Propuesto por Horst Sewerin, Alemania darij

34 En un plano se dan n puntos $P_i \ (i = 1, 2, \ldots , n)$ y dos ángulos $\alpha$ y $\beta$. Sobre cada uno de los segmentos $P_iP_{i+1} \ (P_{n+1} = P_1)$ se construye un punto $Q_i$ tal que para todo $i$: (i) al moverse de $P_i$ a $P_{i+1}, Q_i$ se observa en el mismo lado de $P_iP_{i+1}$, (ii) $\angle P_{i+1}P_iQ_i = \alpha,$ (iii) $\angle P_iP_{i+1}Q_i = \beta.$ Además, sea $g$ una recta en el mismo plano con la propiedad de que todos los puntos $P_i,Q_i$ se encuentran en el mismo lado de $g$. Demuestre que \[\sum_{i=1}^n d(P_i, g)= \sum_{i=1}^n d(Q_i, g),\] donde $d(M,g)$ denota la distancia del punto $M$ a la recta $g.$ Amir

59 Resuelva la ecuación \[\tan^2(2x) + 2 \tan(2x) \cdot \tan(3x) -1 = 0.\] Amir

5 Igual que en Seniors