4 Considere una matriz de tamaño $n\times n$ cuyas entradas son números reales de valor absoluto no mayor a $1$. La suma de todas las entradas de la matriz es $0$. Sea $n$ un entero positivo par. Determine el menor número $C$ tal que toda matriz de este tipo necesariamente tiene una fila o una columna cuya suma de sus entradas no excede $C$ en valor absoluto. Propuesto por Marcin Kuczma, Polonia

6 Sean $a > b > c > d$ enteros positivos y suponga que \[ ac + bd = (b+d+a-c)(b+d-a+c). \] Demuestre que $ab + cd$ no es primo.

74 En un plano se dan dos puntos distintos $A,B$ y dos rectas $a, b$ que pasan por $B$ y $A$ respectivamente $(a \ni B, b \ni A)$ tales que la recta $AB$ está igualmente inclinada respecto a $a$ y $b$. Encuentre el lugar geométrico de los puntos $M$ en el plano tales que el producto de las distancias de $M$ a $A$ y a $a$ sea igual al producto de las distancias de $M$ a $B$ y a $b$ (es decir, $MA \cdot MA' = MB \cdot MB'$, donde $A'$ y $B'$ son los pies de las perpendiculares desde $M$ a $a$ y $b$ respectivamente). Amir

29 Sea $O$ un punto fuera de un círculo dado. Dos rectas $OAB$ y $OCD$ que pasan por $O$ cortan al círculo en $A, B, C, D$, donde $A$ y $C$ son los puntos medios de $OB$ y $OD$, respectivamente. Adicionalmente, el ángulo agudo $\theta$ entre las rectas es igual al ángulo agudo con el que cada recta corta al círculo. Encuentre $\cos \theta$ y demuestre que las tangentes al círculo en $A$ y $D$ se cortan sobre la recta $BC$.

38 Sea $\{u_n \}$ la sucesión definida por sus dos primeros términos $u_0, u_1$ y la fórmula de recurrencia \[u_{n+2 }= u_n - u_{n+1}.\] (a) Demuestre que $u_n$ puede escribirse de la forma $u_n = \alpha a^n + \beta b^n$ , donde $a, b, \alpha, \beta$ son constantes independientes de $n$ que deben ser determinadas. (b) Si $S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$ , demuestre que $S_n + u_{n-1}$ es una constante independiente de $n.$ Determine esta constante. Amir

58 En una prueba, participan $3n$ estudiantes, quienes están ubicados en tres filas de $n$ estudiantes cada una. Los estudiantes abandonan el salón de la prueba uno por uno. Si $N_1(t), N_2(t), N_3(t)$ denotan los números de estudiantes en la primera, segunda y tercera fila respectivamente en el tiempo $t$, encuentre la probabilidad de que para cada $t$ durante la prueba, \[|N_i(t) - N_j(t)| < 2, i \neq j, i, j = 1, 2, 3.\] Amir

1 Hay $10001$ estudiantes en una universidad. Algunos estudiantes se unen para formar varios clubes (un estudiante puede pertenecer a diferentes clubes). Algunos clubes se unen para formar varias sociedades (un club puede pertenecer a diferentes sociedades). Hay un total de $k$ sociedades. Suponga que se cumplen las siguientes condiciones: i.) Cada par de estudiantes está en exactamente un club. ii.) Para cada estudiante y cada sociedad, el estudiante está en exactamente un club de la sociedad. iii.) Cada club tiene un número impar de estudiantes. Además, un club con $2m+1$ estudiantes ($m$ es un entero positivo) está en exactamente $m$ sociedades. Encuentre todos los valores posibles de $k$. Propuesto por Guihua Gong, Puerto Rico

20 Sean $f$ y $g$ funciones del conjunto $A$ en el mismo conjunto $A$. Definimos $f$ como una raíz funcional $n$-ésima de $g$ ($n$ es un entero positivo) si $f^n(x) = g(x)$, donde $f^n(x) = f^{n-1}(f(x)).$ (a) Demuestre que la función $g : \mathbb R \to \mathbb R, g(x) = 1/x$ tiene un número infinito de raíces funcionales $n$-ésimas para cada entero positivo $n.$ (b) Demuestre que existe una biyección de $\mathbb R$ en $\mathbb R$ que no tiene ninguna raíz funcional $n$-ésima para cada entero positivo $n.$ Amir

18 Sea $b \geq 2$ un entero positivo. (a) Demuestre que para que un entero $N$, escrito en base $b$, sea igual a la suma de los cuadrados de sus dígitos, es necesario que $N = 1$ o que $N$ tenga solo dos dígitos. (b) Dé una lista completa de todos los enteros que no exceden $50$ que, con respecto a alguna base $b$, son iguales a la suma de los cuadrados de sus dígitos. (c) Demuestre que para cualquier base $b$, el número de enteros de dos dígitos que son iguales a la suma de los cuadrados de sus dígitos es par. (d) Demuestre que para cualquier base impar $b$ existe un entero distinto de $1$ que es igual a la suma de los cuadrados de sus dígitos. Amir

55 Para cada $a \in \mathbb N$, denote por $M(a)$ el número de elementos del conjunto \[ \{ b \in \mathbb N | a + b \text{ es un divisor de } ab \}.\] Encuentre $\max_{a\leq 1983} M(a).$ Amir