68 Tres de las raíces de la ecuación $x^4 -px^3 +qx^2 -rx+s = 0$ son $\tan A, \tan B$ y $\tan C$, donde $A, B$ y $C$ son ángulos de un triángulo. Determine la cuarta raíz como una función solo de $p, q, r$ y $s.$ Amir

70 Sea $d_n$ el último dígito distinto de cero de la representación decimal de $n!$. Demuestre que $d_n$ es aperiódico; es decir, no existen $T$ y $n_0$ tales que para todo $n \geq n_0, d_{n+T} = d_n$. Amir

74 En un plano se dan dos puntos distintos $A,B$ y dos rectas $a, b$ que pasan por $B$ y $A$ respectivamente $(a \ni B, b \ni A)$ tales que la recta $AB$ está igualmente inclinada respecto a $a$ y $b$. Encuentre el lugar geométrico de los puntos $M$ en el plano tales que el producto de las distancias de $M$ a $A$ y a $a$ sea igual al producto de las distancias de $M$ a $B$ y a $b$ (es decir, $MA \cdot MA' = MB \cdot MB'$, donde $A'$ y $B'$ son los pies de las perpendiculares desde $M$ a $a$ y $b$ respectivamente). Amir

8 Para un grafo finito $G$, sea $f(G)$ el número de triángulos y $g(G)$ el número de tetraedros formados por las aristas de $G$. Encuentre la menor constante $c$ tal que \[g(G)^3\le c\cdot f(G)^4\] para todo grafo $G$. Propuesto por Marcin Kuczma, Polonia

64 La suma de todos los ángulos de las caras alrededor de todos los vértices, excepto uno, de un poliedro dado es $5160$. Encuentre la suma de todos los ángulos de las caras del poliedro. Amir

72 Demuestre que para todo $x_1, x_2,\ldots , x_n \in \mathbb R$ se cumple la siguiente desigualdad: \[\sum_{n \geq i >j \geq 1} \cos^2(x_i - x_j ) \geq \frac{n(n-2)}{4}\] Amir

6 Para una matriz ${n\times n}$ $A$, sea $X_{i}$ el conjunto de entradas en la fila $i$, y $Y_{j}$ el conjunto de entradas en la columna $j$, ${1\leq i,j\leq n}$. Decimos que $A$ es dorada si ${X_{1},\dots ,X_{n},Y_{1},\dots ,Y_{n}}$ son conjuntos distintos. Encuentre el menor entero $n$ tal que existe una matriz dorada ${2004\times 2004}$ con entradas en el conjunto ${\{1,2,\dots ,n\}}$.

21 Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ para los cuales es posible que un caballo, comenzando en una de las casillas de un tablero de ajedrez de $n \times n$, recorra cada una de las casillas exactamente una vez. Amir

47 En un plano, se dan tres círculos $C_1, C_2, C_3$ que se intersecan dos a dos, con centros $M_1, M_2, M_3$. Para $i = 1, 2, 3$, sea $A_i$ uno de los puntos de intersección de $C_j$ y $C_k \ (\{i, j, k \} = \{1, 2, 3 \})$. Demuestre que si $\angle M_3A_1M_2 = \angle M_1A_2M_3 = \angle M_2A_3M_1 = \frac{\pi}{3}$ (ángulos dirigidos), entonces $M_1A_1, M_2A_2$ y $M_3A_3$ son concurrentes. Amir

46 Sea $f$ una función de valores reales definida en $I = (0,+\infty)$ y que no tiene ceros en $I$. Suponga que \[\lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)}=+\infty.\] Para la sucesión $u_n = \ln \left| \frac{f(n+1)}{f(n)} \right|$, demuestre que $u_n \to +\infty$ cuando $n \to +\infty$. Amir