45 Sean dos vasos, numerados $1$ y $2$, que contienen una cantidad igual de líquido, leche en el vaso $1$ y café en el vaso $2$. Se realiza lo siguiente: se toma una cucharada de mezcla del vaso $1$ y se vierte en el vaso $2$, y luego se toma la misma cucharada de la nueva mezcla del vaso $2$ y se vierte de nuevo en el primer vaso. ¿Qué sucede después de que esta operación se repite $n$ veces, y qué sucede cuando $n$ tiende a infinito? Amir

31 Encuentre todas las funciones $f$ definidas sobre el conjunto de los números reales positivos que toman valores reales positivos y satisfacen: $f(xf(y))=yf(x)$ para todo $x,y$; y $f(x)\to0$ cuando $x\to\infty$.

1 Considere un triángulo acutángulo $ABC$. Sea $P$ el pie de la altura del triángulo $ABC$ que parte del vértice $A$, y sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Suponga que $\angle C \geq \angle B+30^{\circ}$. Demuestre que $\angle A+\angle COP < 90^{\circ}$.

50 ¿Es posible elegir $1983$ enteros positivos distintos, todos menores o iguales a $10^5$, tales que no haya tres de ellos que sean términos consecutivos de una progresión aritmética?

23 Sean $p$ y $q$ enteros. Demuestre que existe un intervalo $I$ de longitud $1/q$ y un polinomio $P$ con coeficientes enteros tal que \[ \left|P(x)-\frac pq \right| < \frac{1}{q^2}\] para todo $x \in I.$ Amir

46 Sea $f$ una función de valores reales definida en $I = (0,+\infty)$ y que no tiene ceros en $I$. Suponga que \[\lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)}=+\infty.\] Para la sucesión $u_n = \ln \left| \frac{f(n+1)}{f(n)} \right|$, demuestre que $u_n \to +\infty$ cuando $n \to +\infty$. Amir

49 Dados enteros positivos $k, m, n$ con $km \leq n$ y números reales no negativos $x_1, \ldots , x_k$, demuestre que \[n \left( \prod_{i=1}^k x_i^m -1 \right) \leq m \sum_{i=1}^k (x_i^n-1).\] Amir

28 Demuestre que si los lados $a, b, c$ de un triángulo satisfacen la ecuación \[2(ab^2 + bc^2 + ca^2) = a^2b + b^2c + c^2a + 3abc,\] entonces el triángulo es equilátero. Demuestre también que la ecuación puede ser satisfecha por números reales positivos que no son los lados de un triángulo. Amir

75 Encuentre la suma de las quincuagésimas potencias de todos los lados y diagonales de un polígono regular de $100$ lados inscrito en un círculo de radio $R.$ Amir

36 El conjunto $X$ tiene $1983$ elementos. Existe una familia de subconjuntos $\{S_1, S_2, \ldots , S_k \}$ tal que: (i) la unión de cualesquiera tres de estos subconjuntos es el conjunto $X$ completo, mientras que (ii) la unión de cualesquiera dos de ellos contiene a lo sumo $1979$ elementos. ¿Cuál es el mayor valor posible de $k$? Amir