2 Cada punto blanco en la figura de abajo debe completarse con uno de los enteros $1, 2, ..., 9$, sin repeticiones, de tal manera que la suma de los tres números en el círculo externo sea igual a la suma de los cuatro números en cada círculo interno que no pertenecen al círculo externo. $(a)$ Demuestre una solución. $(b)$ Demuestre que, en cualquier solución, el número $9$ debe pertenecer al círculo externo.

6 Un conjunto de $n$ puntos en el espacio euclidiano tridimensional, de los cuales no hay cuatro que sean coplanares, se divide en dos subconjuntos $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$. Un árbol $\mathcal{AB}$ es una configuración de $n-1$ segmentos, cada uno de los cuales tiene un extremo en $\mathcal{A}$ y un extremo en $\mathcal{B}$, y tal que ningún segmento forma una poligonal cerrada. Un árbol $\mathcal{AB}$ se transforma en otro de la siguiente manera: elija tres segmentos distintos $A_1B_1$, $B_1A_2$ y $A_2B_2$ en el árbol $\mathcal{AB}$ tales que $A_1$ esté en $\mathcal{A}$ y $|A_1B_1|+|A_2B_2|>|A_1B_2|+|A_2B_1|$, y elimine el segmento $A_1B_1$ para reemplazarlo por el segmento $A_1B_2$. Dado cualquier árbol $\mathcal{AB}$, demuestre que toda sucesión de transformaciones sucesivas llega a su fin (no es posible realizar más transformaciones) después de un número finito de pasos.

6 Kilua y Ndoti juegan el siguiente juego en un cuadrado $ABCD$: Kilua elige uno de los lados del cuadrado y dibuja un punto $X$ en este lado. Ndoti elige uno de los otros tres lados y dibuja un punto $Y$. Kilua elige otro lado que no haya sido elegido y dibuja un punto $Z$. Finalmente, Ndoti elige el último lado que aún no ha sido elegido y dibuja un punto $W$. Cada uno de los jugadores puede dibujar su punto en un vértice de $ABCD$, pero deben elegir el lado del cuadrado que se utilizará para hacerlo. Por ejemplo, si Kilua elige $AB$, puede dibujar $X$ en el punto $B$ y esto no impide que Ndoti elija $BC$. Un vértice no puede ser elegido dos veces. Kilua gana si el área del cuadrilátero convexo formado por $X$, $Y$, $Z$ y $W$ es mayor o igual a la mitad del área de $ABCD$. De lo contrario, gana Ndoti. ¿Qué jugador tiene una estrategia ganadora? ¿Cómo puede jugar?

7 Defina la concatenación de enteros positivos como escribir sus representaciones en base diez uno tras otro e interpretar el resultado como la representación en base diez de un único entero positivo. Encuentre todos los enteros positivos $k$ para los cuales existe un entero $N_k$ con la siguiente propiedad: para todo $n \ge N_k$, podemos concatenar los números $1, 2, \dots, n$ en algún orden de modo que el resultado sea un número divisible por $k$. Observación: La representación en base diez de un entero positivo nunca comienza con cero. Ejemplo: Concatenar $15, 14, 7$ en este orden resulta en $15147$.

3 ¿Existe un polinomio de segundo grado $p(x, y)$ en dos variables tal que todo entero no negativo $n$ sea igual a $p(k,m)$ para uno y solo un par ordenado $(k,m)$ de enteros no negativos? Propuesto por Finlandia. Amir

4 Sea $P(n)$ un trinomio cuadrático con coeficientes enteros. Para cada entero positivo $n$, el número $P(n)$ tiene un divisor propio $d_n$, es decir, $1<d_n<P(n)$, tal que la sucesión $d_1,d_2,d_3,\ldots$ es creciente. Demuestre que $P(n)$ es el producto de dos polinomios lineales con coeficientes enteros o todos los valores de $P(n)$, para enteros positivos $n$, son divisibles por el mismo entero $m>1$.

2 En una palabra de más de $10$ letras, cualesquiera dos letras consecutivas son diferentes. Demuestre que se pueden intercambiar dos letras consecutivas de modo que la palabra resultante no sea periódica, es decir, que no pueda dividirse en subpalabras iguales.

3 En un hexágono convexo $AC'BA'CB'$, cada dos lados opuestos son iguales. Sea $A_1$ el punto de intersección de $BC$ con la mediatriz de $AA'$. Defina $B_1$ y $C_1$ de manera similar. Demuestre que $A_1$, $B_1$ y $C_1$ son colineales.

1 Cuatro hermanos tienen juntos cuarenta y ocho Kwanzas. Si el dinero del primer hermano aumentara en tres Kwanzas, si el dinero del segundo hermano disminuyera en tres Kwanzas, si el dinero del tercer hermano se triplicara y si el dinero del último hermano se redujera a un tercio, entonces todos los hermanos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene cada hermano?

8 Sea $k$ un entero positivo y $a_1,a_2,\dots$ una sucesión infinita de enteros positivos tal que \[a_ia_{i+1} \mid k-a_i^2\] para todo entero $i \ge 1$. Demuestre que existe un entero positivo $M$ tal que $a_n=a_{n+1}$ para todo entero $n \ge M$.