2 En una fiesta a la que asisten $n$ parejas casadas, cada persona habla con todos los demás en la fiesta, excepto con su cónyuge. Las conversaciones involucran conjuntos de personas o camarillas $C_1, C_2, \cdots, C_k$ con la siguiente propiedad: ninguna pareja es miembro de la misma camarilla, pero para cualquier otro par de personas existe exactamente una camarilla a la que ambos miembros pertenecen. Demuestre que si $n \geq 4$, entonces $k \geq 2n$. Propuesto por USA. Amir

1 Cada número real mayor que 1 se colorea de rojo o azul, utilizándose ambos colores. Demuestre que existen números reales $a$ y $b$ tales que los números $a+\frac1b$ y $b+\frac1a$ son de colores diferentes.

21 En un triángulo acutángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ corta a $BC$ en $L$ y corta nuevamente al circuncírculo de $ABC$ en $N$. Desde $L$ se trazan perpendiculares a $AB$ y $AC$, con pies en $K$ y $M$ respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $AKNM$ y el triángulo $ABC$ tienen áreas iguales. (Problema 2 de la IMO) Propuesto por la Unión Soviética. Amir

5 Un hexágono convexo $A_1B_1A_2B_2A_3B_3$ está inscrito en una circunferencia $\Omega$ de radio $R$. Las diagonales $A_1B_2$, $A_2B_3$, $A_3B_1$ son concurrentes en $X$. Para cada $i=1,2,3$ sea $\omega_i$ tangente a los segmentos $XA_i$ y $XB_i$ y tangente al arco $A_iB_i$ de $\Omega$ que no contiene a los otros vértices del hexágono; sea $r_i$ el radio de $\omega_i$. (a) Demuestre que $R\geq r_1+r_2+r_3$. (b) Si $R= r_1+r_2+r_3$, demuestre que los seis puntos de tangencia de las circunferencias $\omega_i$ con las diagonales $A_1B_2$, $A_2B_3$, $A_3B_1$ son concíclicos.

4 Una sucesión finita $x_1,\dots,x_r$ de enteros positivos es un palíndromo si $x_i=x_{r+1-i}$ para todo entero $1 \le i \le r$. Sea $a_1,a_2,\dots$ una sucesión infinita de enteros positivos. Para un entero positivo $j \ge 2$, denotamos por $a[j]$ la subsecuencia finita $a_1,a_2,\dots,a_{j-1}$. Suponga que existe una sucesión infinita estrictamente creciente $b_1,b_2,\dots$ de enteros positivos tal que para todo entero positivo $n$, la subsecuencia $a[b_n]$ es un palíndromo y $b_{n+2} \le b_{n+1}+b_n$. Demuestre que existe un entero positivo $T$ tal que $a_i=a_{i+T}$ para todo entero positivo $i$.

4 Dado un conjunto $M$ de $1985$ enteros positivos distintos, ninguno de los cuales tiene un divisor primo mayor que $23$, demuestre que $M$ contiene un subconjunto de $4$ elementos cuyo producto es la cuarta potencia de un entero.

50 ¿Es posible elegir $1983$ enteros positivos distintos, todos menores o iguales a $10^5$, tales que no haya tres de ellos que sean términos consecutivos de una progresión aritmética?

51 Decida si existe un conjunto $M$ de enteros positivos que satisfaga las siguientes condiciones: (i) Para cualquier número natural $m>1$ existen $a, b \in M$ tales que $a+b = m.$ (ii) Si $a, b, c, d \in M$ , $a, b, c, d > 10$ y $a + b = c + d$ , entonces $a = c$ o $a = d.$ Amir

62 Sea $\gamma$ un círculo y sea $AB$ un diámetro. El punto $C$ en $\gamma$ es el punto medio del segmento de recta $BD$. Los segmentos de recta $AC$ y $DO$, donde $O$ es el centro de $\gamma$, se intersecan en $P$. Demuestre que existe un punto $E$ en $AB$ tal que $P$ está en el círculo con diámetro $AE$. Amir

74 En un plano se dan dos puntos distintos $A,B$ y dos rectas $a, b$ que pasan por $B$ y $A$ respectivamente $(a \ni B, b \ni A)$ tales que la recta $AB$ está igualmente inclinada respecto a $a$ y $b$. Encuentre el lugar geométrico de los puntos $M$ en el plano tales que el producto de las distancias de $M$ a $A$ y a $a$ sea igual al producto de las distancias de $M$ a $B$ y a $b$ (es decir, $MA \cdot MA' = MB \cdot MB'$, donde $A'$ y $B'$ son los pies de las perpendiculares desde $M$ a $a$ y $b$ respectivamente). Amir