2 Todos los divisores positivos de un entero positivo $N$ están escritos en una pizarra. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego realizando turnos alternos. En el primer movimiento, el jugador $A$ borra $N$. Si el último número borrado es $d$, entonces el siguiente jugador borra un divisor de $d$ o un múltiplo de $d$. El jugador que no pueda realizar un movimiento pierde. Determine todos los números $N$ para los cuales $A$ puede ganar independientemente de los movimientos de $B$. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia Individual, Problema 2) Martin N.

2 Encuentre todos los enteros positivos $x,y,z$ que satisfacen: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2xyz$

Se dan tres círculos $S, S_1, S_2$ en un plano. $S_1$ y $S_2$ son tangentes entre sí externamente, y ambos son tangentes internamente a $S$ en $A_1$ y $A_2$ respectivamente. La tangente interna común a $S_1$ y $S_2$ corta a $S$ en $P$ y $Q$. Sean $B_1$ y $B_2$ las intersecciones de $PA_1$ y $PA_2$ con $S_1$ y $S_2$, respectivamente. Demuestre que $B_1B_2$ es una tangente común a $S_1$ y $S_2$.

3 Una banda de ancho $w$ es el conjunto de todos los puntos que yacen sobre, o entre, dos líneas paralelas a una distancia $w$ una de la otra. Sea $S$ un conjunto de $n$ ($n \ge 3$) puntos en el plano tales que cualesquiera tres puntos diferentes de $S$ pueden ser cubiertos por una banda de ancho $1$. Demuestre que $S$ puede ser cubierto por una banda de ancho $2$.

5 a) Demuestre que existen cinco enteros $A, B, C, D$ y $E$ tales que $2018 = A^5 + B^5 + C^5 + D^5 + E^5$. b) Demuestre que no existen cuatro enteros $A, B, C$ y $D$ tales que $2018 = A^5 + B^5 + C^5 + D^5$.

4 Encuentre todos los enteros positivos $n$ que satisfacen las siguientes dos condiciones: (a) $n$ tiene al menos cuatro divisores positivos distintos; (b) para cualesquiera divisores $a$ y $b$ de $n$ que satisfacen $1<a<b<n$, el número $b-a$ divide a $n$. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia Individual, Problema 4) Martin N.

1 a) Suponga que $n$ es un entero impar. Demuestre que $k(n-k)$ es divisible por $2$ para todo entero positivo $k$. b) Encuentre un entero $k$ tal que $k(100-k)$ no sea divisible por $11$. c) Suponga que $p$ es un primo impar y $n$ es un entero. Demuestre que existe un entero $k$ tal que $k(n-k)$ no es divisible por $p$. d) Suponga que $p,q$ son dos primos impares distintos y $n$ es un entero. Demuestre que existe un entero $k$ tal que $k(n-k)$ no es divisible por ninguno de $p,q$.

1 Cuatro hermanos tienen juntos cuarenta y ocho Kwanzas. Si el dinero del primer hermano aumentara en tres Kwanzas, si el dinero del segundo hermano disminuyera en tres Kwanzas, si el dinero del tercer hermano se triplicara y si el dinero del último hermano se redujera a un tercio, entonces todos los hermanos tendrían la misma cantidad de dinero. ¿Cuánto dinero tiene cada hermano?

5 Encuentre, con demostración, el punto $P$ en el interior de un triángulo acutángulo $ABC$ para el cual $BL^2+CM^2+AN^2$ es un mínimo, donde $L,M,N$ son los pies de las perpendiculares desde $P$ a $BC,CA,AB$ respectivamente. Propuesto por el Reino Unido. Amir

15 Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales que satisfacen $x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=1$. Demuestre que para todo entero $k\ge2$ existen enteros $a_1,a_2,\ldots,a_n$, no todos nulos, tales que $|a_i|\le k-1$ para todo $i$, y $|a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n|\le{(k-1)\sqrt n\over k^n-1}$. (Problema 3 de la IMO) Propuesto por Alemania, FR Amir