4 Demuestre que existe un entero positivo $n$ tal que en la representación decimal de cada uno de los números $\sqrt{n}$, $\sqrt[3]{n}, \dots, \sqrt[10]{n}$, los dígitos $2015$ aparecen inmediatamente después del punto decimal. A. Golovanov

2 Sea $n\geq 3$ un número impar. Jugaremos un juego utilizando una cuadrícula de $n$ por $n$. El juego consta de $n^2$ turnos; en cada turno, realizaremos la siguiente operación secuencialmente: $\bullet$ Elegiremos una casilla con un entero no escrito y escribiremos un entero entre 1 y $n^2$. Podemos escribir cualquier entero solo una vez durante el juego. $\bullet$ Para cada fila y columna que incluya la casilla, si la suma de los enteros es un múltiplo de $n$, obtendremos 1 punto (si ambas sumas son múltiplos de $n$, obtendremos 2 puntos). Determine el valor máximo posible de los puntos como la suma total que podemos obtener al finalizar el juego.

1 Encuentre todas las ternas $(a,\ b,\ c)$ de enteros positivos tales que $$a^2+b+3=(b^2-c^2)^2.$$

5 Un entero $n>1$, cuyos divisores positivos son $1=d_1<d_2< \cdots <d_k=n$, se llama $\textit{sureño}$ si todos los números $d_2-d_1, d_3- d_2 , \cdots, d_k-d_{k-1}$ son divisores de $n$. a) Encuentre un entero positivo que $\textit{no sea sureño}$ y que tenga exactamente $2022$ divisores positivos que sean $\textit{sureños}$. b) Demuestre que existen infinitos enteros positivos que $\textit{no son sureños}$ y que tienen exactamente $2022$ divisores positivos que son $\textit{sureños}$.

2 Sean $M$ y $N$ puntos en los lados $AB$ y $BC$ del $\triangle ABC$ tales que $$\frac{BC}{BN} - \frac{BA}{BM} = k \neq 0,$$ donde $k$ es una constante. (a) Demuestre que todas las rectas $MN$ se cortan en un punto común. (b) Determine la condición para que el punto de intersección se encuentre en el circuncírculo del $\triangle ABC$, y exprese $k$ en términos de los lados del triángulo.

1 a) Suponga que $n$ es un entero impar. Demuestre que $k(n-k)$ es divisible por $2$ para todo entero positivo $k$. b) Encuentre un entero $k$ tal que $k(100-k)$ no sea divisible por $11$. c) Suponga que $p$ es un primo impar y $n$ es un entero. Demuestre que existe un entero $k$ tal que $k(n-k)$ no es divisible por $p$. d) Suponga que $p,q$ son dos primos impares distintos y $n$ es un entero. Demuestre que existe un entero $k$ tal que $k(n-k)$ no es divisible por ninguno de $p,q$.

10 Sean $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ puntos tales que $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico y $ABDE$ es un paralelogramo. Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $S$ y los rayos $AB$ y $DC$ se cortan en $F$. Demuestre que $\sphericalangle{AFS}=\sphericalangle{ECD}$. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia por Equipos, Problema 6) Martin N.

4 Encuentre todos los enteros positivos $n$ que satisfacen las siguientes dos condiciones: (a) $n$ tiene al menos cuatro divisores positivos distintos; (b) para cualesquiera divisores $a$ y $b$ de $n$ que satisfacen $1<a<b<n$, el número $b-a$ divide a $n$. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia Individual, Problema 4) Martin N.

3 Considere $n$ puntos $A_1, A_2, \ldots, A_n$ en un círculo. ¿De cuántas formas es posible colorear estos puntos con $p$ colores, de tal manera que cada dos puntos vecinos estén coloreados con dos colores diferentes?

4 Sea $n \geq 3$ un entero. Sean $t_1$, $t_2$, ..., $t_n$ números reales positivos tales que \[n^2 + 1 > \left( t_1 + t_2 + \cdots + t_n \right) \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \cdots + \frac{1}{t_n} \right).\] Demuestre que $t_i$, $t_j$, $t_k$ son las longitudes de los lados de un triángulo para todo $i$, $j$, $k$ con $1 \leq i < j < k \leq n$.