2 En cada celda de una cuadrícula de \(n \times n\), se debe escribir uno de los números \(0\), \(1\) o \(2\). Determine todos los enteros positivos \(n\) para los cuales existe una forma de llenar la cuadrícula de \(n \times n\) tal que, al calcular la suma de los números en cada fila y en cada columna, se obtengan los números \(1, 2, \ldots, 2n\) en algún orden.

1 Un entero \(n \geq 2\) se dice que es tuanis si, al sumar el divisor primo más pequeño de \(n\) y el divisor primo más grande de \(n\) (estos divisores pueden ser iguales), se obtiene un resultado impar. Calcule la suma de todos los números tuanis que son menores o iguales a \(2023\).

5 Encuentre todos los pares de primos $(p,q)$ tales que $6pq$ divide a $$p^3+q^2+38$$

6 Dos jugadores, Arnaldo y Betania, juegan alternadamente, siendo Arnaldo el primero en jugar. Inicialmente hay dos montones de piedras que contienen $x$ e $y$ piedras respectivamente. En cada turno, es posible realizar una de las siguientes operaciones: 1. Elegir dos montones no vacíos y tomar una piedra de cada montón. 2. Elegir un montón con una cantidad impar de piedras, tomar una de sus piedras y, si es posible, dividirlo en dos montones con la misma cantidad de piedras. El jugador que no pueda realizar ninguna de las operaciones 1 y 2 pierde. Determine quién tiene la estrategia ganadora basándose en $x$ e $y$.

6 Sea $n \geq 2$ un entero. Lucía elige $n$ números reales $x_1, x_2, \ldots, x_n$ tales que $\left| x_i-x_j \right|\geq 1$ para todo $i\neq j$. Luego, en cada casilla de una cuadrícula de $n \times n$, escribe uno de estos números, de tal manera que ningún número se repita en la misma fila o columna. Finalmente, para cada casilla, calcula el valor absoluto de la diferencia entre el número en la casilla y el número en la primera casilla de su misma fila. Determine el valor más pequeño que puede tomar la suma de los $n^2$ números que Lucía calculó.

5 Sean $m,n$ enteros positivos tales que $m\ge 2$ y $n< \frac{3}{2}(m-1)$. En un país hay $m$ ciudades y $n$ carreteras, cada carretera conecta dos ciudades diferentes, y puede haber múltiples carreteras entre dos ciudades. Demuestre que existe una forma de separar las ciudades en dos grupos $\alpha$ y $\beta$, donde todas las carreteras que conectan una ciudad en $\alpha$ con una ciudad en $\beta$ se convierten en autopistas, y se satisfacen las siguientes condiciones: ambos grupos tienen al menos una ciudad, y para cada ciudad, el número de autopistas que salen de dicha ciudad no excede $1$.

5 Dados $2k+1$ puntos en una recta numérica coloreados con $k$ colores. Demuestre que para tres puntos adyacentes $A$, $B$ y $C$, si $A$ puede moverse a $C$ y $C$ a $A$, entonces existen dos puntos que pueden intercambiar sus lugares con el mismo color.

2 Sea un triángulo $ABC$ con círculo inscrito $\omega$, tangente a $BC, CA, AB$ en $D, E, F$. La perpendicular desde $B$ a $BC$ corta a $EF$ en $M$, y la perpendicular desde $C$ a $BC$ corta a $EF$ en $N$. Sean $DM$ y $DN$ las rectas que cortan a $\omega$ en $P$ y $Q$. Demuestre que $DP=DQ$.

2 Todos los divisores positivos de un entero positivo $N$ están escritos en una pizarra. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego realizando turnos alternos. En el primer movimiento, el jugador $A$ borra $N$. Si el último número borrado es $d$, entonces el siguiente jugador borra un divisor de $d$ o un múltiplo de $d$. El jugador que no pueda realizar un movimiento pierde. Determine todos los números $N$ para los cuales $A$ puede ganar independientemente de los movimientos de $B$. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia Individual, Problema 2) Martin N.

3 Dado un número $n\in\mathbb N$, una sucesión cuyos miembros son cualquiera de los números $1,2,\ldots,n$ se denomina sucesión universal si, entre los pares de miembros consecutivos, se encuentran todos los pares posibles $(i,j)$, $1\le i,j\le n$. Encuentre el número de miembros de la sucesión universal con la longitud más corta.