1 Sean $P_1, P_2, \dots, P_n$ puntos situados en un lado del $\triangle ABC$. Demuestre que el conjunto de distancias desde estos puntos a los vértices del triángulo contiene al menos $\sqrt[3]{n}$ elementos distintos.

2 En cada celda de una cuadrícula de \(n \times n\), se debe escribir uno de los números \(0\), \(1\) o \(2\). Determine todos los enteros positivos \(n\) para los cuales existe una forma de llenar la cuadrícula de \(n \times n\) tal que, al calcular la suma de los números en cada fila y en cada columna, se obtengan los números \(1, 2, \ldots, 2n\) en algún orden.

1 Un entero \(n \geq 2\) se dice que es tuanis si, al sumar el divisor primo más pequeño de \(n\) y el divisor primo más grande de \(n\) (estos divisores pueden ser iguales), se obtiene un resultado impar. Calcule la suma de todos los números tuanis que son menores o iguales a \(2023\).

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D, E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A, B$ y $C$, respectivamente. La recta $EF$ y el circuncírculo de $ABC$ se intersecan en $P$, tal que $F$ está entre $E$ y $P$. Las rectas $BP$ y $DF$ se intersecan en $Q$. Demuestre que si $ED=EP$, entonces $CQ$ y $DP$ son paralelas.

3 Se nos da un cuadrilátero cíclico $ABCD$ con un punto $E$ en la diagonal $AC$ tal que $AD=AE$ y $CB=CE$. Sea $M$ el centro del circuncírculo $k$ del triángulo $BDE$. El círculo $k$ corta a la recta $AC$ en los puntos $E$ y $F$. Demuestre que las rectas $FM$, $AD$ y $BC$ concurren en un punto. (4.ª Olimpiada Matemática de Europa Central, Competencia Individual, Problema 3) Martin N.

2 Sea $n\geq 3$ un número impar. Jugaremos un juego utilizando una cuadrícula de $n$ por $n$. El juego consta de $n^2$ turnos; en cada turno, realizaremos la siguiente operación secuencialmente: $\bullet$ Elegiremos una casilla con un entero no escrito y escribiremos un entero entre 1 y $n^2$. Podemos escribir cualquier entero solo una vez durante el juego. $\bullet$ Para cada fila y columna que incluya la casilla, si la suma de los enteros es un múltiplo de $n$, obtendremos 1 punto (si ambas sumas son múltiplos de $n$, obtendremos 2 puntos). Determine el valor máximo posible de los puntos como la suma total que podemos obtener al finalizar el juego.

1 Encuentre todas las ternas $(a,\ b,\ c)$ de enteros positivos tales que $$a^2+b+3=(b^2-c^2)^2.$$

3 Demuestre que para todo entero positivo $n$ existe un entero positivo $k$, tal que cada uno de los números $k, k^2, \dots, k^n$ tiene al menos un bloque de $2022$ en su representación decimal. Por ejemplo, los números 4 2022 13 y 544 2022 1 2022 tienen al menos un bloque de $2022$ en su representación decimal.

5 Un entero $n>1$, cuyos divisores positivos son $1=d_1<d_2< \cdots <d_k=n$, se llama $\textit{sureño}$ si todos los números $d_2-d_1, d_3- d_2 , \cdots, d_k-d_{k-1}$ son divisores de $n$. a) Encuentre un entero positivo que $\textit{no sea sureño}$ y que tenga exactamente $2022$ divisores positivos que sean $\textit{sureños}$. b) Demuestre que existen infinitos enteros positivos que $\textit{no son sureños}$ y que tienen exactamente $2022$ divisores positivos que son $\textit{sureños}$.

1 Un entero positivo es feliz si: 1. Todos sus dígitos son diferentes y distintos de $0$, 2. Uno de sus dígitos es igual a la suma de los otros dígitos. Por ejemplo, 253 es un número feliz. ¿Cuántos números felices existen?