La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. egxa 219 publicaciones egxa #1 h 30 de abril de 2023, 4:56 AM • 3 Y Y por AlperenINAN, Aliosman, Sondat_theorem Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $K,L$ puntos sobre $AC,BC$ respectivamente tales que $\angle{AKB}=\angle{ALB}$. Sea $P$ la intersección de $AL$ y $BK$ y sea $Q$ el punto medio del segmento $KL$. Sean $T,S$ las intersecciones de $AL,BK$ con $(ABC)$ respectivamente. Demuestre que $TK,SL,PQ$ son concurrentes. Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por egxa, 30 de abril de 2023, 9:25 AM Razón: Error tipográfico Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 14 de sep. de 2010, 6:14 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dados el lado $a$ y la altura correspondiente $h_a$ de un triángulo $ABC$, encuentre una relación entre $a$ y $h_a$ tal que sea posible construir, con regla y compás, un triángulo $ABC$ tal que las alturas de $ABC$ formen un triángulo rectángulo que admita a $h_a$ como hipotenusa. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. randomusername 1062 publicaciones randomusername #1 h 28 de ago. de 2015, 2:39 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $n\ge 2$ un entero. Determine el número de enteros positivos $m$ tales que $m\le n$ y $m^2+1$ es divisible por $n$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BarishNamazov 124 publicaciones BarishNamazov #1 h 11 de abr. de 2018, 7:22 a. m. • 7 Y Y por Omeredip, microsoft_office_word, Mathuzb, SCP, ImSh95, Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo con $CA=CB$ y $\angle{ACB}=120^\circ$ , y sea $M$ el punto medio de $AB$ . Sea $P$ un punto variable del circuncírculo de $ABC$ , y sea $Q$ el punto en el segmento $CP$ tal que $QP = 2QC$ . Se da que la recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $AB$ interseca a la recta $MQ$ en un punto único $N$ . Demuestre que existe un círculo fijo tal que $N$ se encuentra en este círculo para todas las posiciones posibles de $P$ . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por djmathman, 23 de abr. de 2018, 8:36 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 6 de sep. de 2011, 6:21 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $n \geq 3$ un entero. John y Mary juegan al siguiente juego: Primero, John etiqueta los lados de un $n$-ágono regular con los números $1, 2,\ldots, n$ en el orden que desee, usando cada número exactamente una vez. Luego, Mary divide este $n$-ágono en triángulos trazando $n-3$ diagonales que no se cortan entre sí dentro del $n$-ágono. Todas estas diagonales están etiquetadas con el número $1$. En cada uno de los triángulos se escribe el producto de los números de sus lados. Sea S la suma de esos $n - 2$ productos. Determine el valor de $S$ si Mary quiere que el número $S$ sea lo más pequeño posible y John quiere que $S$ sea lo más grande posible, y si ambos toman las mejores decisiones posibles. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 7 de julio de 2010, 12:33 PM • 14 Y Y por BuiBaAnh, Davi-8191, a_friendwr_a, megarnie, Adventure10, Mango247, Rounak_iitr, Tastymooncake2, Funcshun840, cubres, MS_asdfgzxcvb y otros 3 usuarios. Dado un triángulo $ABC$, con $I$ como su incentro y $\Gamma$ como su circuncírculo, $AI$ corta a $\Gamma$ nuevamente en $D$. Sea $E$ un punto en el arco $BDC$, y $F$ un punto en el segmento $BC$, tales que $\angle BAF=\angle CAE < \dfrac12\angle BAC$. Si $G$ es el punto medio de $IF$, demuestre que el punto de intersección de las rectas $EI$ y $DG$ yace sobre $\Gamma$. Propuesto por Tai Wai Ming y Wang Chongli, Hong Kong Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 19 de sep. de 2022, 5:21 p. m. Y por En un baile hay $12$ hombres, numerados del $1$ al $12$, y $12$ mujeres numeradas del $1$ al $12$. A cada hombre se le asigna un "amigo secreto" entre los otros $11$. Todos bailaron todas las piezas. En la primera pieza, cada hombre bailó con la mujer que tiene el mismo número. A partir de entonces, cada hombre bailó la nueva pieza con la mujer que había bailado la pieza anterior con su amigo secreto. En la tercera pieza, las parejas fueron: https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/c/d/f5ea0931e5751739c1ba556f84ab5736f2d11a.png Encuentre el número del amigo secreto de cada hombre. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 19 de sep. de 2022, 5:38 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. canada 134 publicaciones canada #1 h 7 de julio de 2010, 11:32 a. m. • 26 Y Y por MSTang, Davi-8191, anantmudgal09, bel.jad5, Ramanujan_math, Gerninza, itslumi, TheMathCruncher_007, samrocksnature, centslordm, HWenslawski, megarnie, Amoonguss, ImSh95, David-Vieta, Mogmog8, Adventure10, Mango247, seansean01347, aidan0626, cubres, PikaPika999, y otros 4 usuarios Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tales que para todo $x,y\in\mathbb{R}$ se cumple la siguiente igualdad \[ f(\left\lfloor x\right\rfloor y)=f(x)\left\lfloor f(y)\right\rfloor \] donde $\left\lfloor a\right\rfloor $ es el mayor entero no mayor que $a.$ Propuesto por Pierre Bornsztein, Francia Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por djmathman, 27 de abril de 2015, 9:58 a. m. Razón: formato Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. rafaello 1079 publicaciones rafaello #1 h 10 de dic. de 2021, 9:25 a. m. • 1 Y Y por mathcyber124 Se dan seis números reales $x_1<x_2<x_3<x_4<x_5<x_6$. Para cada triplete de números distintos de esos seis, Vitya calculó su suma. Resultó que las $20$ sumas son distintas entre sí; denotemos esas sumas por $$s_1<s_2<s_3<\cdots<s_{19}<s_{20}.$$ Se sabe que $x_2+x_3+x_4=s_{11}$, $x_2+x_3+x_6=s_{15}$ y $x_1+x_2+x_6=s_{m}$. Encuentre todos los valores posibles de $m$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. delegat 656 publicaciones delegat #1 h 17 de julio de 2008, 7:40 a. m. • 11 Y Y por Davi-8191, JasperL, anantmudgal09, Amir Hossein, Adventure10 y otros 6 usuarios. Sean $ n$ y $ k$ enteros positivos con $ k \geq n$ y $ k - n$ un número par. Se dan $ 2n$ lámparas etiquetadas $ 1$ , $ 2$ , ..., $ 2n$ , cada una de las cuales puede estar encendida o apagada. Inicialmente, todas las lámparas están apagadas. Consideramos sucesiones de pasos: en cada paso, una de las lámparas se cambia (de encendida a apagada o de apagada a encendida). Sea $ N$ el número de tales sucesiones que consisten en $ k$ pasos y que resultan en el estado donde las lámparas $ 1$ a $ n$ están todas encendidas, y las lámparas $ n + 1$ a $ 2n$ están todas apagadas. Sea $ M$ el número de tales sucesiones que consisten en $ k$ pasos, que resultan en el estado donde las lámparas $ 1$ a $ n$ están todas encendidas, y las lámparas $ n + 1$ a $ 2n$ están todas apagadas, pero donde ninguna de las lámparas $ n + 1$ a $ 2n$ se enciende en ningún momento. Determine $ \frac {N}{M}$ . Autor: Bruno Le Floch e Ilia Smilga, Francia Z K Y