La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 28 de mar. de 2010, 10:46 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Factorice $ 5^{1985}-1$ como un producto de tres enteros, cada uno mayor que $ 5^{100}$ . Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Lepuslapis 78 publicaciones Lepuslapis #1 h 6 de mayo de 2023, 7:23 a. m. • 1 Y Y por Rounak_iitr Un entero positivo $n$ es amigable si la diferencia de cada par de dígitos vecinos de $n$, escrito en base $10$, es exactamente $1$. Por ejemplo, 6787 es amigable, pero 211 y 901 no lo son. Encuentre todos los números naturales impares $m$ para los cuales existe un entero amigable divisible por $64m$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mavropnevma 15142 publicaciones mavropnevma #1 h 8 de julio de 2010, 3:13 AM • 24 Y Y por Batman007, Davi-8191, tenplusten, FlakeLCR, test20, AlastorMoody, Purple_Planet, vsamc, ilovepizza2020, megarnie, pog, EthanTAoPS, jhu08, THEfmigm, Jupiter_is_BIG, sleepypuppy, EpicBird08, Adventure10, Mango247, Aopamy, ItsBesi, cubres, Rounak_iitr y otro usuario más. Sea $P$ un punto interior al triángulo $ABC$ (con $CA \neq CB$). Las rectas $AP$, $BP$ y $CP$ cortan nuevamente a su circunferencia circunscrita $\Gamma$ en $K$, $L$ y $M$ respectivamente. La recta tangente a $\Gamma$ en $C$ corta a la recta $AB$ en $S$. Demuestre que de $SC = SP$ se sigue que $MK = ML$. Propuesto por Marcin E. Kuczma, Polonia Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 14 de sep. de 2010, 5:42 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dos triángulos equiláteros están inscritos en un círculo de radio $r$. Sea $A$ el área del conjunto que consiste en todos los puntos interiores a ambos triángulos. Demuestre que $2A \geq r^2 \sqrt 3.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. randomusername 1062 publicaciones randomusername #1 h 28 de ago. de 2015, 2:39 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Sea $n\ge 2$ un entero. Determine el número de enteros positivos $m$ tales que $m\le n$ y $m^2+1$ es divisible por $n$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 14 de sep. de 2010, 6:14 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dados el lado $a$ y la altura correspondiente $h_a$ de un triángulo $ABC$, encuentre una relación entre $a$ y $h_a$ tal que sea posible construir, con regla y compás, un triángulo $ABC$ tal que las alturas de $ABC$ formen un triángulo rectángulo que admita a $h_a$ como hipotenusa. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Valentin Vornicu 7301 publicaciones Valentin Vornicu #1 h 29 de octubre de 2005, 6:14 PM • 2 Y Y por ahmedosama, Adventure10 Encuentre todos los enteros positivos $x,y$ que satisfacen la ecuación \[ 9(x^2+y^2+1) + 2(3xy+2) = 2005 . \] Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. microsoft_office_word 65 publicaciones microsoft_office_word #1 h 12 de abril de 2018, 6:02 AM • 6 Y Y por mkhayech, rashah76, itslumi, mathematicsy, Adventure10, Zephyr0001 Un dominó es una ficha de $ 1 \times 2 $ o $ 2 \times 1 $. Sea $n \ge 3 $ un entero. Se colocan dominós en un tablero de $n \times n$ de tal manera que cada dominó cubra exactamente dos celdas del tablero y los dominós no se superpongan. El valor de una fila o columna es el número de dominós que cubren al menos una celda de dicha fila o columna. La configuración se denomina equilibrada si existe algún $k \ge 1 $ tal que cada fila y cada columna tenga un valor de $k$. Demuestre que existe una configuración equilibrada para todo $n \ge 3 $ y encuentre el número mínimo de dominós necesarios en dicha configuración. Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por microsoft_office_word, 18 de febrero de 2020, 3:47 PM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 28 de ago. de 2010, 1:37 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 La sucesión $f_1, f_2, \cdots, f_n, \cdots $ de funciones está definida para $x > 0$ recursivamente por \[f_1(x)=x , \quad f_{n+1}(x) = f_n(x) \left(f_n(x) + \frac 1n \right)\] Demuestre que existe uno y solo un número positivo $a$ tal que $0 < f_n(a) < f_{n+1}(a) < 1$ para todo entero $n \geq 1.$ Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por phxu, 30 de sep. de 2015, 11:41 a. m. Motivo: error de LaTeX corregido Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. randomusername 1062 publicaciones randomusername #1 h 28 de ago. de 2015, 2:32 p. m. • 4 Y Y por Adventure10, Rounak_iitr, ItsBesi, cubres Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ con $AB>AC$ y sea la recta $AI$ que interseca al lado $BC$ en $D$. Suponga que el punto $P$ se encuentra en el segmento $BC$ y satisface $PI=PD$. Además, sea $J$ el punto obtenido al reflejar $I$ sobre la mediatriz de $BC$, y sea $Q$ la otra intersección de los circuncírculos de los triángulos $ABC$ y $APD$. Demuestre que $\angle BAQ=\angle CAJ$. Z K Y