La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BarishNamazov 124 publicaciones BarishNamazov #1 h 11 de abr. de 2018, 7:32 a. m. • 6 Y Y por Davi-8191, ring_r, Wizard_32, A-Thought-Of-God, Adventure10, Mango247 Considere el conjunto \[A = \left\{1+\frac{1}{k} : k=1,2,3,4,\cdots \right\}.\] Demuestre que todo entero $x \geq 2$ puede escribirse como el producto de uno o más elementos de $A$, los cuales no son necesariamente distintos. Para todo entero $x \geq 2$, sea $f(x)$ el entero mínimo tal que $x$ puede escribirse como el producto de $f(x)$ elementos de $A$, los cuales no son necesariamente distintos. Demuestre que existen infinitos pares $(x,y)$ de enteros con $x \geq 2$, $y \geq 2$, y \[f(xy)<f(x)+f(y).\] (Los pares $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ son distintos si $x_1 \neq x_2$ o $y_1 \neq y_2$). Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por djmathman, 23 de abr. de 2018, 8:37 a. m. Razón: formato Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BarishNamazov 124 publicaciones BarishNamazov #1 h 11 de abril de 2018, 7:13 a. m. • 9 Y Y por integrated_JRC, socr4tes, darij grinberg, Kobayashi, ImSh95, crazyeyemoody907, Adventure10, Mango247, Error426_Upgrade_Required Los $n$ concursantes de la EGMO se llaman $C_1, C_2, \cdots C_n$. Después de la competencia, hacen fila frente al restaurante de acuerdo con las siguientes reglas. El jurado elige el orden inicial de los concursantes en la fila. Cada minuto, el jurado elige un entero $i$ con $1 \leq i \leq n$. Si el concursante $C_i$ tiene al menos $i$ otros concursantes frente a ella, paga un euro al jurado y se mueve hacia adelante en la fila exactamente $i$ posiciones. Si el concursante $C_i$ tiene menos de $i$ otros concursantes frente a ella, el restaurante abre y el proceso termina. Demuestre que el proceso no puede continuar indefinidamente, independientemente de las elecciones del jurado. Determine para cada $n$ el número máximo de euros que el jurado puede recaudar eligiendo astutamente el orden inicial y la secuencia de movimientos. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por djmathman, 23 de abril de 2018, 8:38 a. m. Razón: formato Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 17 de julio de 2008, 7:45 a. m. • 16 Y Y por Davi-8191, integrated_JRC, Vietjung, HWenslawski, Adventure10, megarnie, mathmax12, jmiao, aidan0626, Amir Hossein, buddyram, ItsBesi, cubres y otros 3 usuarios. Encuentre todas las funciones $ f: (0, \infty) \mapsto (0, \infty)$ (donde $ f$ es una función de los números reales positivos) tales que \[ \frac {\left( f(w) \right)^2 + \left( f(x) \right)^2}{f(y^2) + f(z^2) } = \frac {w^2 + x^2}{y^2 + z^2} \] para todos los números reales positivos $ w,x,y,z,$ que satisfacen $ wx = yz.$ Autor: Hojoo Lee, Corea del Sur. Esta publicación ha sido editada 4 veces. Última edición por MellowMelon, 2 de septiembre de 2015, 7:05 p. m. Razón: corregir error tipográfico Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. microsoft_office_word 65 publicaciones microsoft_office_word #1 h 12 de abril de 2018, 6:17 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que para todo número real $t$ tal que $0 < t < \tfrac{1}{2}$ existe un entero positivo $n$ con la siguiente propiedad: para todo conjunto $S$ de $n$ enteros positivos existen dos elementos diferentes $x$ e $y$ de $S$, y un entero no negativo $m$ (es decir, $m \ge 0$), tales que \[ |x-my|\leq ty.\] Determine si para todo número real $t$ tal que $0 < t < \tfrac{1}{2}$ existe un conjunto infinito $S$ de enteros positivos tal que \[|x-my| > ty\] para todo par de elementos diferentes $x$ e $y$ de $S$ y todo entero positivo $m$ (es decir, $m > 0$). Esta publicación ha sido editada 3 veces. Última edición por djmathman, 23 de abril de 2018, 8:43 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 14 de sep. de 2010, 5:40 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 ¿Existen enteros $m$ y $n$ tales que \[5m^2 - 6mn + 7n^2 = 1985 \ ?\] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 14 de sep. de 2010, 5:46 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $E = \{1, 2, \dots , 16\}$ y sea $M$ la colección de todas las matrices de $4 \times 4$ cuyas entradas son miembros distintos de $E$. Si una matriz $A = (a_{ij} )_{4\times4}$ se elige aleatoriamente de $M$, calcule la probabilidad $p(k)$ de que $\max_i \min_j a_{ij} = k$ para $k \in E$. Además, determine $l \in E$ tal que $p(l) = \max \{p(k) | k \in E \}.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. randomusername 1062 publicaciones randomusername #1 h 27 de ago. de 2015, 10:18 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Rounak_iitr Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sea $E$ la intersección de las rectas paralelas a $AC$ y $BD$ que pasan por los puntos $B$ y $A$, respectivamente. Las rectas $EC$ y $ED$ intersecan nuevamente al circuncírculo de $AEB$ en $F$ y $G$, respectivamente. Demuestre que los puntos $C$, $D$, $F$ y $G$ yacen sobre un círculo. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathmanman 1444 publicaciones mathmanman #1 h 25 de mayo de 2007, 11:40 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Un triángulo acutángulo $ABC$ está inscrito en un círculo de radio 1 con centro $O;$ todos los ángulos de $ABC$ son mayores que $45^\circ.$ $B_{1}$ es el pie de la perpendicular desde $B$ a $CO,$ $B_{2}$ es el pie de la perpendicular desde $B_{1}$ a $AC.$ De manera similar, $C_{1}$ es el pie de la perpendicular desde $C$ a $BO,$ $C_{2}$ es el pie de la perpendicular desde $C_{1}$ a $AB.$ Las rectas $B_{1}B_{2}$ y $C_{1}C_{2}$ se intersecan en $A_{3}.$ Los puntos $B_{3}$ y $C_{3}$ se definen de la misma manera. Encuentre el circunradio del triángulo $A_{3}B_{3}C_{3}.$ Propuesto por F.Bakharev, F.Petrov Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. randomusername 1062 publicaciones randomusername #1 h 27 de ago. de 2015, 10:12 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Encuentre todas las funciones sobreyectivas $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que para todos los enteros positivos $a$ y $b$, exactamente una de las siguientes ecuaciones es verdadera: \begin{align*} f(a)&=f(b), \\ f(a+b)&=\min\{f(a),f(b)\}. \end{align*} Observaciones: $\mathbb{N}$ denota el conjunto de todos los enteros positivos. Se dice que una función $f:X\to Y$ es sobreyectiva si para todo $y\in Y$ existe $x\in X$ tal que $f(x)=y$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mavropnevma 15142 publicaciones mavropnevma #1 h 8 de julio de 2010, 3:15 a. m. • 35 Y Y por DrMath, Eugenis, rkm0959, hwl0304, Davi-8191, tenplusten, FlakeLCR, Kayak, mathleticguyyy, OlympusHero, opptoinfinity, A_Math_Lover, centslordm, DofL, donotoven, mathmax12, megarnie, David-Vieta, Adventure10, Mango247, Tastymooncake2, cubres, Tarenenly y otros 12 usuarios. Cada una de las seis cajas $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ , $B_4$ , $B_5$ , $B_6$ contiene inicialmente una moneda. Se permiten las siguientes operaciones: Tipo 1) Elegir una caja no vacía $B_j$ , $1\leq j \leq 5$ , retirar una moneda de $B_j$ y añadir dos monedas a $B_{j+1}$ ; Tipo 2) Elegir una caja no vacía $B_k$ , $1\leq k \leq 4$ , retirar una moneda de $B_k$ e intercambiar los contenidos (posiblemente vacíos) de las cajas $B_{k+1}$ y $B_{k+2}$ . Determine si existe una sucesión finita de operaciones de los tipos permitidos, tal que las cinco cajas $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ , $B_4$ , $B_5$ queden vacías, mientras que la caja $B_6$ contenga exactamente $2010^{2010^{2010}}$ monedas. Propuesto por Hans Zantema, Países Bajos Z K Y