La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mavropnevma 15142 publicaciones mavropnevma #1 h 8 de julio de 2010, 3:15 a. m. • 35 Y Y por DrMath, Eugenis, rkm0959, hwl0304, Davi-8191, tenplusten, FlakeLCR, Kayak, mathleticguyyy, OlympusHero, opptoinfinity, A_Math_Lover, centslordm, DofL, donotoven, mathmax12, megarnie, David-Vieta, Adventure10, Mango247, Tastymooncake2, cubres, Tarenenly y otros 12 usuarios. Cada una de las seis cajas $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ , $B_4$ , $B_5$ , $B_6$ contiene inicialmente una moneda. Se permiten las siguientes operaciones: Tipo 1) Elegir una caja no vacía $B_j$ , $1\leq j \leq 5$ , retirar una moneda de $B_j$ y añadir dos monedas a $B_{j+1}$ ; Tipo 2) Elegir una caja no vacía $B_k$ , $1\leq k \leq 4$ , retirar una moneda de $B_k$ e intercambiar los contenidos (posiblemente vacíos) de las cajas $B_{k+1}$ y $B_{k+2}$ . Determine si existe una sucesión finita de operaciones de los tipos permitidos, tal que las cinco cajas $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ , $B_4$ , $B_5$ queden vacías, mientras que la caja $B_6$ contenga exactamente $2010^{2010^{2010}}$ monedas. Propuesto por Hans Zantema, Países Bajos Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. randomusername 1062 publicaciones randomusername #1 h 27 de ago. de 2015, 10:21 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Encuentre todos los pares de enteros positivos $(m,n)$ para los cuales existen enteros $a$ y $b$ primos entre sí mayores que $1$ tales que $$\frac{a^m+b^m}{a^n+b^n}$$ es un entero. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. mathisreal 925 publicaciones mathisreal #1 h 21 de feb. de 2018, 5:53 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Gonçalo escribe en una pizarra cuatro de los siguientes números $0, 1, 2, 3, 4$, él puede repetir números. Nicolas puede realizar la siguiente operación: cambiar un número de la pizarra por el resto (en la división por $5$) del producto de otros dos números de la pizarra. Nicolas gana si los cuatro números son iguales, determine si Gonçalo puede elegir números tales que Nicolas nunca gane. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por mathisreal, 21 de feb. de 2018, 5:53 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33713 publicaciones parmenides51 #1 h 19 de sep. de 2022, 5:19 PM Y por La nave enemiga ha aterrizado en un tablero de $9\times 9$ que cubre exactamente $5$ casillas del tablero, de esta manera: https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/2/4/ae5aa95f5bb5e113fd5e25931a2bf8eb872dbe.png La nave es invisible. Cada misil defensivo cubre exactamente una casilla y destruye la nave si impacta en una de las $5$ casillas que ocupa. Determine el número mínimo de misiles necesarios para destruir la nave enemiga con certeza. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por parmenides51, 11 de dic. de 2022, 2:41 PM Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. randomusername 1062 publicaciones randomusername #1 h 28 de ago. de 2015, 2:38 p. m. • 2 Y Y por rightways, Adventure10 Encuentre todos los pares de enteros positivos $(a,b)$ tales que $$a!+b!=a^b + b^a.$$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. rafaello 1079 publicaciones rafaello #1 h 10 de dic. de 2021, 9:27 a. m. Y por Existe una caja fuerte que puede abrirse ingresando un código secreto que consiste en $n$ dígitos, cada uno de los cuales es $0$ o $1$. Inicialmente, se ingresaron $n$ ceros y la caja fuerte está cerrada (por lo tanto, todos ceros no es el código secreto). En un intento, usted puede ingresar una secuencia arbitraria de $n$ dígitos, cada uno de los cuales es $0$ o $1$. Si la secuencia ingresada coincide con el código secreto, la caja fuerte se abrirá. Si la secuencia ingresada coincide con el código secreto en más posiciones que la secuencia ingresada anteriormente, usted escuchará un clic. En cualquier otro caso, la caja fuerte permanecerá cerrada y no habrá clic. Encuentre el número mínimo de intentos que es suficiente para abrir la caja fuerte en todos los casos. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. egxa 219 publicaciones egxa #1 h 30 de abril de 2023, 5:24 a. m. • 2 Y Y por AlperenINAN, Aliosman Inicialmente, Aslı distribuye $1000$ bolas en $30$ cajas como ella desee. Después de eso, Aslı y Zehra realizan movimientos alternados que consisten en tomar una bola de cualquier caja deseada, comenzando por Aslı. Quien tome la última bola de cualquier caja se queda con esa caja. ¿Cuál es el número máximo de cajas que Aslı puede garantizar quedarse para sí misma independientemente de los movimientos de Zehra? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 14 de sep. de 2010, 6:47 a. m. • 3 Y Y por chessgocube, Adventure10, Mango247 Determine el rango de $w(w + x)(w + y)(w + z)$ , donde $x, y, z$ y $w$ son números reales tales que \[x + y + z + w = x^7 + y^7 + z^7 + w^7 = 0.\] Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BarishNamazov 124 publicaciones BarishNamazov #1 h 11 de abril de 2018, 7:13 a. m. • 9 Y Y por integrated_JRC, socr4tes, darij grinberg, Kobayashi, ImSh95, crazyeyemoody907, Adventure10, Mango247, Error426_Upgrade_Required Los $n$ concursantes de la EGMO se llaman $C_1, C_2, \cdots C_n$. Después de la competencia, hacen fila frente al restaurante de acuerdo con las siguientes reglas. El jurado elige el orden inicial de los concursantes en la fila. Cada minuto, el jurado elige un entero $i$ con $1 \leq i \leq n$. Si el concursante $C_i$ tiene al menos $i$ otros concursantes frente a ella, paga un euro al jurado y se mueve hacia adelante en la fila exactamente $i$ posiciones. Si el concursante $C_i$ tiene menos de $i$ otros concursantes frente a ella, el restaurante abre y el proceso termina. Demuestre que el proceso no puede continuar indefinidamente, independientemente de las elecciones del jurado. Determine para cada $n$ el número máximo de euros que el jurado puede recaudar eligiendo astutamente el orden inicial y la secuencia de movimientos. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por djmathman, 23 de abril de 2018, 8:38 a. m. Razón: formato Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. syk0526 202 publicaciones syk0526 #1 h 14 de sep. de 2012, 9:28 a. m. • 3 Y Y por Adventure10 y otros 2 usuarios Sea $ ABCD $ un cuadrilátero convexo sin pares de lados paralelos, tal que $ \angle ABC = \angle CDA $. Suponga que las intersecciones de los pares de bisectrices de ángulos adyacentes de $ ABCD $ forman un cuadrilátero convexo $ EFGH $. Sea $ K $ la intersección de las diagonales de $ EFGH $. Demuestre que las rectas $ AB $ y $ CD $ se intersecan en la circunferencia circunscrita del triángulo $ BKD $. Z K Y