Esteban el aqluimista tiene $8088$ piezas de cobre, $6066$ piezas de bronce, $4044$ piezas de plata y $2022$ piezas de oro. Él puede tomar dos piezas de metales distintos y usar un martillo mágico para convertirlas en dos piezas de metales distintos a los que tomó y distintos entr sí. Determine el mayor número de piezas de oro que puede obtener Esteban después de haber usado el martillo mágico un número finito de veces.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ el punto de intersección de las alturas. La altura desde $A$ corta a $BC$ en $D$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BH$ y $CH$, respectivamente. $DM$ y $DN$ intersecan a $AB$ y $AC$ en $X$ y $Y$, respectivamente. Si $XY$ interseca a $BH$ en $P$ y a $CH$ en $Q$, demuestre que $H$, $P$, $D$ y $Q$ están en una misma circunferencia.

Sean $X,Y$ los extremos de un diámetro de una circunferencia $\Gamma$ y $N$ el punto medio de uno de los arcos $XY$ de $\Gamma$. Sean $A$ y $B$ dos puntos en el segmento $XY$. Las rectas $NA$ y $NB$ cortan nuevamente a $\Gamma$ en los puntos $C$ y $D$, respectivamente. Las tangentes a $\Gamma$ en $C$ y $D$ se cortan en $P$. Sea $M$ el punto de intersección del segmento $XY$ con el segmento $NP$. Demustra que $M$ es el punto medio del segmento $AB$.

Un entero positivo es bisumado si se puede escribir como suma de dos enteros positivos que tengan la misma suma de sus dígitos. Por ejemplo, $2012$ es bisumado pues $2012=1005+7$ y tanto $2005$ como $7$ tienen suma de dígitos igual a $7$. Encuentra todos los enteros positivos que no son bisumados.

Un conjunto $S$ de enteros positivos se llama canalero si para cualesquiera tres números $a,b,c\in S$, todos diferentes, se cumple que $a$ divide a $bc$, $b$ divide a $ca$ y $c$ divide a $ab$. a. Demuestra que, para cualquier conjunto finito de enteros positivos $\{c_1,c_2,\ldots, c_n\}$, existen infinitos enteros positivos $k$ tales que el conjunto $\{kc_1,kc_2,\ldots, kc_n\}$ es canalero. b. Demuestra que, para cualquier entero $n\geq 3$, existe un conjunto canalero que tiene exactamente $n$ elementos y ningún entero mayor que $1$ divide a todos sus elementos.

Una configuración es un conjunto finito $S$ de puntos del plano entre los cuales no hay tres colineales y a cada punto se le asigna algún color, de modo que si un triángulo cuyos vértices están en $S$ tiene un ángulo mayor o igual a $120^\circ$, entonces exactamente dos de sus vértices son de un mismo color. Hallar el número máximo de puntos que puede tener una configuración.

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos tales que: i. $A\cup B$ es el conjunto de los enteros positivos. ii. $A\cap B$ es vacío. iii. Si dos enteros positivos tienen como diferencia a un primo mayor que $2013$, entonces uno de ellos está en $A$ y el otro en $B$. Hallar todas las posibilidades para los conjuntos $A$ y $B$.

Un entero positivo $n$ es inverosímil si existen $n$ enteros no necesariamente distintos tales que la suma y producto de estos enteros sean iguales a $n$. ¿Cuántos enteros positivos menores o iguales a $2022$ son inverosímiles?

Se tiene un montón con $2022$ piedras. Ana y Beto juegan por turnos al siguiente juego, comenzando por Ana: en cada turno si hay $n$ piedras en el montón, se pueden retirar $S(n)$ piedras o $n-S(n)$ piedras, donde $S(n)$ es la suma de los digitos de $n$. La persona que retire la última piedra gana. Determine cuál de las dos personas tiene una estrategia ganadora y cuál es.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $X,Y,Z$ los puntos de tangencia de su circunferencia inscrita con los lados $BC$, $CA$, $AB$ respectivamente. Supon que $C_1,C_2,C_3$ son circunferencias con cuerdas $YZ$, $ZX$, $XY$, respectivamente, tales que $C_1$ y $C_2$ se corten sobre la recta $CZ$ y que $C_1$ y $C_3$ se corten sobre la recta $BY$. Supon que $C_1$ corta a las cuerdas $XY$ y $ZX$ en $J$ y $M$, respectivamente; que $C_2$ corta a las cuerdas $YZ$ y $XY$ en $L$ e $I$, respectivamente; y que $C_3$ corta a las cuerdas $YZ$ y $ZX$ en $K$ y $N$ respectivamente. Demuestra que $I,J,K,L,M,N$ están sobre una misma circunferencia.