Sean $a,b,c,d$ números enteros positivos tales que $a-b+c-d$ es impar y divide a $a^2-b^2+c^2-d^2$. Demuestra que $a-b+c-d$ divide a $a^n-b^n+c^n-d^n$ para todo entero positivo $n$.

Sea $ABC$ un triángulo y sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de la paralela a $BC$ por $A$ con las bisectrices exteriores de los ángulos $\angle B$ y $\angle C$, respectivamente. La perpendicular a $BP$ por $P$ y la perpendicular a $CQ$ por $Q$ se intersecan en $R$. Si $I$ es el incentro de $ABC$, muestra que $AI=AR$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, con $AC\neq BC$, y sea $O$ su circuncentro. Sean $P$ y $Q$ puntos tales que $BOAP$ y $COPQ$ son paralelogramos. Demuestra que $Q$ es el ortocentro de $ABC$.

Sea $n$ un entero positivo. Dado un conjunto $\{a_1,a_2,\ldots a_n\}$ de enteros entre $0$ y $2^n-1$ inclusive, a cada uno de sus $2^n$ subconjuntos se les asigna la suma de sus elementos; en particular, el subconjunto vacío tiene suma $0$. Si estas $2^n$ sumas dejan distintos residuos al dividirlas entre $2^n$, se dice que el conjunto $\{a_1,a_2,\ldots, a_n\}$ es $n$-completo. Determinar, para cada $n$, la cantidad de conjuntos $n$-completos.

En la pizarra está escrito el número $2$. Ana y Bruno juegan alternadamente, comenzando por Ana. Cada uno en su turno sustituye el número escrito por el que se obtiene al aplicar exactamente una de las siguientes operaciones: multiplicarlo por $2$, o multiplicarlo por $3$, o sumarle $1$. El primero que obtenga un resultado mayor o igual a $2011$ gana. Halla cuál de los dos tiene una estrategia ganadora y describe dicha estrategia.

Encuentra todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen tres números enteros no nulos $x,y,z$ tales que $$x+y+z=0, \hspace{2mm} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{n}$$

Sea $ABC$ un triángulo con $AB\neq AC$. Sean $I$ el incentro de $ABC$ y $P$ el otro punto de intersección de la bisectriz exterior del ángulo $A$ con el circuncírculo de $ABC$. La recta $PI$ interseca por segunda vez al circuncírculo de $ABC$ en el punto $J$. Demuestra que los circuncírculos de los triángulos $JIB$ y $JIC$ son tangentes a $IC$ y a $IB$, respectivamente.

Sean $k$ y $n$ enteros positivos, con $g\geq 2$. En una línea recta se tienen $kn$ piedras de $k$ colores diferentes de tal forma que hay $n$ piedras de cada color. Un paso consiste en intercambiar de posición dos piedras adyacentes. Encontrar el menor entero positivo $m$ tal que siempre es posible lograr, con a lo sumo $m$ pasos, que las $n$ piedras de cada color queden seguidas si: a. $n$ es par, b. $n$ es impar y $k=3$.

Se distribuyeron los números $1,2,3\ldots, 2008^2$ en un tablero de $2018\times 2018$, de modo que en cada casilla haya un número distinto. Para cada fila y cada columna del tablero se calcula la diferencia entre el mayor y el menor de sus elementos. Sea $S$ la suma de los $4016$ números obtenidos. Determine el mayor valor posible de $S$.

Las medias aritmética, geométrica y armónica de dos números enteros positivos distintos son números enteros. Hallar el menor valor posible para la media aritmética.