Halla todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales tales que $P(2014)=1$ y, para algún entero $c$, se cumple que $$xP(x-c)=(x-2014)P(x)$$

Sea $\Gamma$ una circunferencia de centro $O$, $AE$ un diámetro de $\Gamma$ y $B$ el punto medio de uno de los arcos $AE$ de $\Gamma$. El punto $D\neq E$ está sobre el segmento $OE$. El punto $C$ es tal que el cuadrilátero $ABCD$ es un paralelogramo con $AB$ paralelo a $CD$ y $BC$ paralelo a $AD$. Las rectas $EB$ y $CD$ se cortan en el punto $F$. La recta $OF$ corta al arco menor $EB$ de $\Gamma$ en el punto $I$. Demuestra que la recta $EI$ es la bisectriz del ángulo $\angle BEC$.

Sobre un rectángulo $ABCD$ se dibujan triángulos equiláteros $BCX$ y $DCY$ de modo que cada uno comparte puntos con el interior del rectángulo. La recta $AX$ corta a la recta $CD$ en $P$. La recta $AY$ corta a la recta $BC$ en $Q$. Demuestra que el triángulo $APQ$ es equilátero.

Ana, Beto, Carlos, Diana, Elena y Fabián se encuentran en un círculo, ubicados en ese orden. Cada uno de Ana, Beto, Carlos, Diana, Elena y Fabián tienen un papel, en los cuales están escritos inicialmente los números reales $a,b,c,d,e,f$, respectivamente. Al final de cada minuto, todas las personas reemplazan simultáneamente el número de su papel por la suma de tres números; los que había al principio del minuto en su papel y en los papeles de sus dos vecinos. Al final del minuto $2022$ se han hecho $2022$ reemplazos y cada persona tiene escrito en su papel su número inicial. Determina todos los podibles valores de $abc+def$.

Demuestra que para todo entero positivo $n$ existen $n$ enteros positivos consecutivos tales que ninguno de ellos es divisible por la suma de sus dígitos.

Sea $A_1A_2A_3A_4$ un rectángulo y sean $S_1,S_2,S_3,S_4$ cuatro circunferencias dentro del rectangulo tales que $S_k$ y $S_{k+1}$ son tangentes externamente y ambas son tangentes al lado $A_kA_{k+1}$ para $k=1,2,3,4$ donde $A_5=A_1$ y $S_5=S_1$. Demuestra que $A_1A_2A_3A_4$ es un cuadrado.

Se tienen $N$ monedas, de las cuales $N-1$ son auténticas de igual peso y una es falsa, de peso diferente a las demás. El objetivo es, utilizando exclusivamente una balanza de dos platos, hallar la moneda falsa y determinar si es más pesada o más liviana que las auténticas. Cada vez que se pueda deducir que una o varias monedas son auténticas, entonces todas esas monedas se separan inmediatamente y no se pueden usar en las siguientes pesadas. Determine todos los $N$ para los que se puede lograr con certeza el objetivo. (Se pueden hacer tantas pesadas como se desee.)

Sea $A=\{1,2,3,\ldots, n\}$ con $n>5$. Demuestra que existe un conjunto finito $B$ de enteros positivos distintos tal que $A\subseteq B$ y tiene la propiedad $$\prod_{x\in B}x=\sum_{x\in B}x^2.$$

Dado un conjunto $X$ y una función $f:X\to X$, denotamos, para cada $x\in X$, $f^1=f(x)$ y, para cada $j\geq 1$, $f^{j+1}=f(f^j(x))$. Decimos que $a\in X$ es un punto fijo de $f$ si $f(a)=a$. Para cada número real $x$, definimos $\pi(x)$ como la cantidad de primos positivos menores o iguales que $x$. Dado un número entero positivo $n$, decimos que $f:\{1,2,\ldots, n\}\to\{1,2,\ldots,n\}$ es catracha si $f^{f(k)}=k$ para todo $k\in\{1,2,\ldots,n\}$. Prueba que: a. Si $f$ es catracha, entonces $f$ tiene al menos $\pi(n)-\pi(\sqrt{n})+1$ puntos fijos. b. Si $n\geq 36$, existe una función catracha con exactamente $\pi(n)-\pi(\sqrt{n})+1$ puntos fijos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y circuncentro $O$. Sea $D$ la intersección de las rectas $AO$ y $BH$. Sea $P$ el punto del segmento $AB$ tal que $PH=PD$. Demuestre que los puntos $B,D,O$ y $P$ están en una misma circunferencia.