Encuentra todos los enteros positivos $x,y,z$ tales que $$x^5+4^y=2013^z.$$

Para un conjunto finito $C$ de enteros, se define $S(C)$ como la suma de los elementos de $C$. Encuentre dos conjuntos no vacíos $A$ y $B$ cuya intersección es vacía, cuya unión es el conjunto $\{1,2,\ldots, 2021\}$ y tales que el producto $S(A)S(B)$ es un cuadrado perfecto.

Sea $ABC$ un triangulo con $\angle ABC>90$ y con circuncirculo $\Gamma$ done $O$ es el centro de $\Gamma$. Sea $D$ el punto de interseccion de $AB$ con la perpendicular a $AC$ en $C$. Sea $\ell$ la linea por $D$ perpendicular a $AO$. Sea $E$ la interseccion de $\ell$ con $AC$, y sea $F$ el punto de interseccion de $\Gamma$ con $\ell$ que se encuentra entre $D$ y $E$. Demuestra que los circuncirculos de $BFE$ y $CFD$ son tangentes en $F$.

Sean $a,b,c,x,y,z$ numeros reales tales que $$a^2+x^2=b^2+y^2=c^2+z^2=(a+b)^2+(x+y)^2=(b+c)^2+(y+z)^2=(c+a)^2+(z+x)^2$$ Demuestra que $a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+z^2$.

En una competencia de matematicas, algunos de los competidores son amigos; la amistad es reciproca donde si $A$ es amigo de $B$ entonces $B$ es amigo de $A$. Decimos que $n\geq 3$ competidores $A_1,A_2,\ldots, A_n$ forman un ciclo debilmente-amigable si las unicas parejas de no amigos son $A_i$ y $A_{i+1}$ para todo $1\leq i\leq n$ ($A_{n+1}=A_1$). En la competencia se cumple la siguiente propiedad: Para cada competidor $C$ y ciclo debilmente-amigable $S$ que no contiene a $C$, $S$ tiene a lo más un competidor $D$ que no es amigo de $C$. Demuestra que todos los competidores se pueden acomodar en $3$ grupos, de manera que en cada grupo todos los competidores son amigos entre si.

Demuestre que existe un conjunto $C$ de $2020$ enteros positivos y distintos que cumple simultáneamente las siguientes propiedades: - Cuando se calcula el máximo común divisor de cada dos elementos de $C$, se obtiene una lista de números todos distintos. - Cuando se calcula el mínimo común múltiplo de cada dos elementos de $C$, se obtiene una lista de números todos distintos.

Sea $a_1,a_2,a_3,\ldots$ una sucesión de enteros positivos y sea $b_1,b_2,b_3,\ldots$ la sucesión de números reales dada por\n$$b_n=\frac{a_1a_2\cdots a_n}{a_1+a_2+\cdots+a_n}$$\nDemuestre que si entre cada millón de términos consecutivos de la sucesión $b_1,b_2,b_3,\ldots$ existe al menos uno que es entero, entonces existe algún $k$ tal que $b_k>2021^{2012}$.

Sea $S=\{13,133,1333,\ldots\}$ el conjunto de entero positivos de la forma $133\cdots 3$. Considera una fila con $2022$ casillas. Ana y Borja juegan a un juego. Ana empieza, y en cada turno ban a escribir un digito en la casilla vacia mas a la izquierda. Cuando todas las casillas se hayan llenado el juego termina. Si el numero que termina escrito es $N$, Borja gana si algun numero de $S$ divide a $N$ si no entonces Ana gana. Encuetra que jugador tiene estrategia ganadora y cual es.

Sea $n\geq 2$ un entero. Una sucesión $\alpha=(a_1,a_2,\ldots, a_n)$ de $n$ números enteros se dice limeña si $$mcd(\{a_i-a_j|a_i>a_j, 1\leq i,j\leq n\})=1$$ Una operación consiste en escoger dos elementos $a_k$ y $a_l$ de una sucesión, con $k\neq l$, y reemplazar $a_l$ por $a_l'=2a_k-a_l$. Demuestre que, dada una colección de $2^n-1$ sucesiones limeñas, cada una formada por $n$ números enteros, existen dos de ellas, digamos $\beta$ y $\gamma$, tales que es posible transformar $\beta$ en $\gamma$ mediante un número finito de operaciones.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB<AC$. Los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ son $M$ y $N$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ puntos en la recta $MN$ tales que $\angle CBP=\angle ACB$ y $\angle QCB=\angle CBA$. La circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$ interseca a la recta $AC$ en $D$ ($D\neq A$) y la circunferencia circunscrita del triángulo $AQC$ interseca a la recta $AB$ en $E$ ($E\neq A$). Demuestre que las rectas $BC$, $DP$ y $EQ$ son concurrentes.