Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ dos circunferencias tangentes externamente en $S$ tales que el radio de $\mathcal{C}_2$ es el triple del radio de $\mathcal{C}_1$. Sea $\ell$ una recta que es tangente a $\mathcal{C}_1$ en $P$ y tangente a $\mathcal{C}_2$ en $Q$, con $P$ y $Q$ distintos de $S$. Sea $T$ el punto en $\mathcal{C}_2$ tal que $TQ$ es diámetro de $\mathcal{C}_2$ y sea $R$ la intersección de la bisectriz de $\angle SQT$ con el segmento $ST$. Demuestra que $QR=RT$.

Sea $\mathbb{N}=\{1,2,3,\cdots\}$ el conjunto de los números enteros positivos. Sea $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ una función, la cual asigna a cada número entero positivo, un número entero positivo. Supón que $f$ satisface las siguientes dos condiciones: a) $f(1)=1$. b) Para toda pareja $a,b$ de enteros positivos, se tiene que $$f(a+b+ab)=a+b+f(ab)$$ Encuentra el valor de $f(2015)$.

Sea $n$ un entero positivo y sean $d_1,d_2,\cdots, d_k$ todos sus divisores positivos ordenados de menor a mayor. Considera el número $$f(n)=(-1)^{d_1}d_1+(-1)^{d_2}d_2+\cdots+(-1)^{d_k}d_k.$$ Por ejemplo, los divisores positivos de $10$ son $1$, $2$, $5$ y $10$, así que $$f (10) = (-1)^1 \cdot 1 + (-1)^2 \cdot 2 + (-1)^5 \cdot 5 + (-1)^{10} \cdot 10 = 6.$$ Supón que $f(n)$ es una potencia de $2$. Muestra que si $m$ es un entero mayor que $1$, entonces $m^2$ no divide a $n$.

Decimos que un número entero no-negativo $n$ “contiene” a otro número entero no-negativo $m$, si los dígitos de su expansión (o desarrollo) decimal aparecen en forma consecutiva en la expansión (o desarrollo) decimal de $n$. Por ejemplo, $2016$ contiene a $2,0,1,6,20,16,201$ y $2016$. Determina el mayor número entero $n$ que no contiene a ningún múltiplo de $7$.

Sea $n$ un entero positivo. María escribe en un pizarrón las $n^3$ ternas que se pueden formar tomando tres enteros, no necesariamente distintos, entre $1$ y $n$, incluyéndolos. Después, para cada una de las ternas, María determina el mayor (o los mayores, en caso de que haya más de uno) y borra los demás. Por ejemplo, en la terna $(1,3,4)$ borrará los números $1$ y $3$, mientras que en la terna $(1,2,2)$ borrará sólo el número $1$. Muestra que, al terminar este proceso, la cantidad de números que quedan escritos en el pizarrón no puede ser igual al cuadrado de un número entero.

Sea $ABC$ un triángulo y sea $H$ su ortocentro. Sea $PQ$ un segmento que pasa por $H$ con $P$ en $AB$, $Q$ en $AC$ y tal que $\angle PHB=\angle CHQ$. Finalmente en el circuncírculo del triángulo $ABC$, considera $M$ el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$. Muestra que $MP=MQ$.

Un entero positivo $a$ "se reduce" a un entero positivo $b$, si al dividir a entre su dígito de las unidades se obtiene $b$. Por ejemplo, $2015$ se reduce a $\frac{2015}{5}=403$. Encuentra todos los enteros positivos que, mediante algunas reducciones, llegan al número $1$. Por ejemplo, el número $12$ es uno de tales enteros pues $12$ se reduce a $6$ y $6$ se reduce a $1$.

Sea $n$ un entero positivo y $k$ un entero entre $1$ y $n$. Se tiene un tablero de $n\times n$ color blanco. Se hace el siguiente proceso. Se dibujan $k$ rectángulos con lados de longitud entera, con lados paralelos a los del tablero y tales que su esquina superior derecha coincide con la del tablero. Luego, estos $k$ rectángulos se rellenan de negro. Esto deja una figura blanca en el tablero. ¿Cuántas figuras blancas diferentes podemos obtener, que no se puedan obtener haciendo el proceso con menos de $k$ rectángulos?

Sean $a$, $b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=3$. Muestra que\n$$\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\geq \frac{3}{2}$$\ny determina para qué números $a$, $b$ y $c$ se alcanza la igualdad.

En una cuadrícula de $n\times n$ se escriben los números del $1$ al $n^2$ en orden, por renglones, de manera que en el primer renglón aparecen los números del $1$ al $n$, en el segundo los números de $n+1$ a $2n$, y así sucesivamente. Una operación permitida en la cuadrícula consiste en escoger cualesquiera dos cuadraditos que compartan un lado y sumar (o restar) el mismo número entero a los dos números que aparecen en esos cuadraditos. Determina para qué valores de $n$ es posible lograr que todos los cuadraditos tengan escrito el número $0$ después de repetir la operación tantas veces como sea necesario y, en los casos en que sea posible, determina el mínimo número de operaciones necesarias.