Sean $A$ y $B$ dos puntos de una recta $\ell$, $M$ el punto medio de $AB$, y $X$ un punto del segmento $AB$ distinto de $M$. Sea $\Omega$ una semicircunferencia con diámetro $AB$. Consideremos un punto $P$ sobre $\Omega$ y sea $\Gamma$ la circunferencia que pasa por $P$ y $X$ que es tangente a $AB$. Sea $Q$ el segundo punto de intersección de $\Omega$ y $\Gamma$. La bisectriz del ángulo interno de $\angle PXQ$ interseca a $\Gamma$ en un punto $R$. Sea $Y$ un punto de $\ell$ tal que $RY$ es perpendicular a $\ell$. Muestra que $MX>XY$.

Sea $n\geq 5$ un número entero y consideremos un $n$-ágono regular. Inicialmente, Nacho se posiciona en uno de los vértices del $n$-ágono, en el que pone una bandera. Comienza a moverse en el sentido de las agujas del reloj. Primero se desplaza una posición y pone otra bandera, luego dos posiciones y pone otra bandera, etcétera, hasta que finalmente se desplaza $n-1$ posiciones y pone una bandera, de manera que pone $n$ banderas en total. ¿Para qué valores de $n$, Nacho habrá puesto una bandera en cada uno de los $n$ vértices?

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia $\Omega$. Las bisectrices de los ángulos $\angle B$ y $\angle C$ intersectan a $\Omega$ en $M$ y $N$. Sea $I$ el punto de intersección de estas bisectrices. Sean $M'$ y $N'$ las respectivas reflexiones de $M$ y $N$ por $AC$ y $AB$ respectivamente. Muestra que el centro de la circunferencia que pasa por $I$, $M'$, $N'$ se encuentra en la altitud del triángulo $ABC$ desde $A$.

En un tablero de ajedrez de $2017\times 2017$, se han colocado en la primera columna $2017$ caballos de ajedrez, uno en cada casilla de la columna. Una tirada consiste en elegir dos caballos distintos y de manera simulátnea moverlos como se mueven los caballos de ajedrez. Encuentra todos los posibles valores enteros de $k$ con $1\leq k\leq 2017$, para los cuales es posible llegar a través de varias tiradas, a que todos los caballos están en la columna $k$, uno en cada casilla. Nota. Un caballo se mueve de una casilla $X$ a otra $Y$, solamente si $X$ y $Y$ son las esquinas opuestas de un rectángulo de $3\times 2$ o de $2\times 3$.

Sea $I$ el incentro de un triángulo acutángulo $ABC$. La recta $AI$ corta por segunda vez al circuncírculo del triángulo $BIC$ en $E$. Sean $D$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$ y $J$ la reflexión de $I$ con respecto a $BC$. Muestra que los puntos $D$, $J$ y $E$ son colineales.

Encuentra el menor número real $x$ que cumpla todas las siguientes desigualdades: $$\lfloor x\rfloor< \lfloor x^2\rfloor<\lfloor x^3\rfloor<\cdots<\lfloor x^n\rfloor<\lfloor x^{n+1}\rfloor<\cdots$$ Nota: $\lfloor x\rfloor$ es el mayor número entero menor o igual a $x$, es decir, es el único entero que cumple que $\lfloor x\rfloor\leq x<\lfloor x\rfloor+1$.

Cada uno de los números del $1$ al $4027$ se ha coloreado de verde o de rojo. Cambiar el color de un número es pasarlo a verde si era rojo, y pasarlo a rojo si era verde. Diremos que dos enteros positivos $m$ y $n$ son "cuates" si alguno de los números $\frac{m}{n}$ o $\frac{n}{m}$ es un número primo. Un paso consiste en elegir dos números que sean cuates y cambiar el color de cada uno de los números. Muestra que después de realizar algunos pasos es posible hacer que todos los números del $1$ al $2014$ sean verdes.

Una pareja de enteros positivos $m,n$ es "guerrera" si existen enteros positivos $a,b,c,d$ con $m=ab, n=cd$ y $a+b=c+d$. Por ejemplo, la pareja $8,9$ es guerrera pues $8=4\cdot 2$, $9=3\cdot 3$ y $4+2=3+3$. Se colorean los enteros positivos de la siguiente manera: Empezamos coloreando el $3$ y el $5$. Después, si algún entero positivo no está coloreado y este tiene una pareja guerrera que ya está coloreado, entonces lo coloreamos. Encuentra todos los enteros positivos que eventualmente se colorean.

Sean $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, $\ell_1$ la recta paralela a $BC$ que pasa por $A$ y $\ell_2$ la recta paralela a $AD$ que pasa por $B$. La recta $DC$ corta a $\ell_1$ y $\ell_2$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. La recta perpendicular a $\ell_1$ que pasa por $A$ corta a $BC$ en $P$ y la recta perpendicular a $\ell_2$ por $B$ corta a $AD$ en $Q$. Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ las circunferencias que pasan por los vértices de los triángulos $ADE$ y $BFC$, respectivamente. Demuestra que $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ son tangentes si y sólo si $DP$ es perpendicular a $CQ$.

Sean $n\geq 2$ y $m\geq 2$ enteros positivos. Se tienen $m$ urnas dispuestas en fila. Los jugadores $A$ y $B$ juegan por turnos, comenzando por $A$, de la siguiente manera. En cada turno, $A$ elige dos urnas y coloca un voto en cada una de ellas. Posteriormente, $B$ elige una urna, y elimina todos los votos de esa. $A$ gana si logra que haya una urna con $n$ votos después de algún turno de $B$. Determina para cada $n$ el mínimo valor de $m$ para el cual $A$ puede garantizar ganar, sin importar los movimientos que haga $B$.