Sea $ABCD$ un paralelogramo con ángulo obtuso en $A$. Sea $P$ un punto sobre el segmento $BD$ de manera que la circunferencia con centro en $P$ y que pasa por $A$, corte a la recta $AD$ en $A$ y $Y$, y corte a la recta $AB$ en $A$ y $X$. La recta $AP$ intersecta a $BC$ en $Q$ y a $CD$ en $R$, respectivamente. Muestra que $\angle XPY=\angle XQY+\angle XRY$.

Se escriben los números primos en orden, $p_1=2,p_2=3,p_3=5,\cdots$. Encuentra todas las parejas de números enteros positivos $a$ y $b$ con $a-b\geq 2$, tales que $p_a-p_b$ divide al número entero $2(a-b)$.

Sea $ABCD$ un rectángulo con diagonales $AC$ y $BD$. Sean $E$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo $\angle CAD$ con el segmento $CD$, $F$ el punto sobre el segmento $CD$ tal que $E$ es el punto medio de $DF$ y $G$ el punto sobre la recta $BC$ tal que $BG=AC$ (con $C$ entre $B$ y $G$). Muestra que la circunferencia que pasa por $D,F$ y $G$ es tangente a $BG$.

Sean $\Gamma_1$ una circunferencia y $P$ un punto fuera de $\Gamma_1$. Las tangentes desde $P$ a $\Gamma_1$ tocan a la circunferencia en los puntos $A$ y $B$. Considera $M$ el punto medio del segmento $PA$ y sea $\Gamma_2$ la circunferencia que pasa por los puntos $P$, $A$ y $B$. La recta $BM$ interseca de nuevo a $\Gamma_2$ en el punto $C$, la recta $CA$ interseca de nuevo a $\Gamma_1$ en el punto $D$, el segmento $DB$ interseca de nuevo a $\Gamma_2$ en el punto $E$ y la recta $PE$ interseca a $\Gamma_1$ en el punto $F$ (con $E$ entre $P$ y $F$). Muestra que las rectas $AF$, $BP$ y $CE$ concurren.

Para cada entero positivo $n$, sea $d(n)$ la cantidad de divisores positivos de $n$. Por ejemplo, los divisores positivos de $6$ son $1$, $2$, $3$ y $6$, por lo que $d(6)=4$. Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que $$n+d(n)=d(n)^2$$

Sea $n>1$ un entero impar y sean $a_1,a_2\cdots,a_n$ números reales distintos. Sea $M$ el mayor de estos números y sea $m$ el menor de ellos. Muestra que es posible escoger los signos en la expresión $s=\pm a_1\pm a_2\pm\cdots\pm a_n$ de manera que $$m<s<M$$

Considera un tablero de $(2^n-1)\times (2^n+1)$ casillas que se quiere dividir en rectángulos de tal forma que los lados de los rectángulos sean paralelos a los lados del tablero, de tal forma que el área (cantidad de casillas) de cada rectángulo sea una potencia de $3$. Encuentra la menor cantidad de rectángulos en las que se puede dividir el tablero.

En cada casilla de un tablero de $n\times n$ hay un foco. Inicialmente todos los focos están apagados. En un paso, se permite cambiar el estado de todos los focos en una fila o de todos los focos en una columna (los focos prendidos se apagan y los focos apagados se prenden). Muestra que si después de cierta cantidad de pasos hay uno o más focos prendidos entonces en ese momento hay al menos $n$ focos prendidos.

Considera un tablero de ajedrez. Los números del $1$ al $64$ se escriben en las casillas del tablero como en la figura. Se disponen de suficientes caballos de ajedrez para colocarlos en las casillas del tablero de manera que no se ataquen entre sí. Calcula la suma de los números de las casillas donde están colocados los caballos. ¿Cuál es la suma máxima que puedes obtener? Nota. Dos caballos se atacan entre sí, cuando se encuentran en $2$ esquinas opuestas de un rectángulo de $2\times 3$ o de $3\times 2$. *Figura Necesaria*

Sean $p,q,r$ números primos positivos distintos. Muestra que si $pqr$ divide a\n$$(pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1,$$\nentonces $(pqr)^3$ divide a\n$$3((pq)^r+(qr)^p+(rp)^q-1).$$