Hallar todas las ternas $(a,b,p)$ de numeros enteros positivos con $p$ primo que satisfacen $$a^p=b!+p.$$

Sean $a>b$ enteros positivos relativamente primos. Un saltamontes se sitúa en el punto $0$ de una recta numérica. Cada minuto, el saltamontes salta de acuerdo con las siguientes reglas: Si el minuto actual es un múltiplo de $a$ y no un múltiplo de $b$, salta $a$ unidades hacia adelante. Si el minuto actual es un múltiplo de $b$ y no un múltiplo de $a$, salta $b$ unidades hacia atrás. Si el minuto actual es tanto un múltiplo de $a$ como un múltiplo de $b$, salta $a-b$ unidades hacia adelante. Si el minuto actual no es ni un múltiplo de $a$ ni un múltiplo de $b$, no se mueve. Encuentra todas las posiciones de la recta numérica que el saltamontes acabará alcanzando.

Determina todos los conjuntos no vacíos $C_1$, $C_2$, $C_3$, $\cdots$, tales que cada uno de ellos tiene un número finito de elementos, y todos sus elementos son enteros positivos, con la siguiente propiedad: Para cualesquiera enteros positivos $n$ y $m$, el número de elementos del conjunto $C_n$ más el número de elementos del conjunto $C_m$ es igual a la suma de los elementos del conjunto $C_{m+n}$. \nNota: Al denotar por $\lvert C_k \lvert$ el número de elementos del conjunto $C_k$ y $S_k$ como la suma de los elementos del conjunto $C_k$, la condición del problema es que para cada $m$ y $n$ enteros positivos se cumple $$\lvert C_n \lvert + \lvert C_m \lvert = S_{n + m} .$$

Los números reales positivos $a_1$, $a_2$, $a_3$ son tres términos consecutivos de una progresión aritmética, y análogamente, $b_1$, $b_2$, $b_3$ son números reales positivos distintos y términos consecutivos de una progresión aritmética. ¿Es posible utilizar tres segmentos de longitudes $a_1$, $a_2$, $a_3$ como bases, y otros tres segmentos de longitudes $b_1$, $b_2$, $b_3$ como alturas, para construir tres rectángulos de igual área?

Sea $k$ un entero positivo y $S$ un conjunto finito de primos impares. Muestra que a lo mas hay una manera (sin contar rotacion ni reflexion) de colocar los elementos de $S$ alrededor de un circulo tal que el producto de cualesquiera dos vecinos es de la forma $x^2+x+k$, para algun entero positivo $x$.

Sea $n\geq 2$ un número entero positivo. Sean $x_1,x_2,\cdots, x_n$ números reales no nulos que satisfacen la ecuación\n$$\left(x_1+\frac{1}{x_2}\right)\left(x_2+\frac{1}{x_3}\right)\dots\left(x_n+\frac{1}{x_1}\right)=\left(x_1^2+\frac{1}{x_2^2}\right)\left(x_2^2+\frac{1}{x_3^2}\right)\dots\left(x_n^2+\frac{1}{x_1^2}\right).$$\nEncuentra todos los valores posibles de $x_1,x_2,\cdots, x_n$.

Sea $ABCDE$ un pentagono convexo tal que $BC=DE$. Supongamos que existe un punto $T$ en el interior de $ABCDE$ tal que $TB=TD$, $TC=TE$ y $\angle ABT = \angle TEA$. La recta $AB$ corta a las rectas $CD$ y $CT$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Supongamos que los puntos $R$, $E$, $A$ y $S$ aparecen sobre su recta en ese orden. Demuestra que los puntos $P$, $S$, $Q$ y $R$ estan en una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escálelo con $\angle BAC=60^\circ$ y ortocentro $H$. Sean $\omega_b$ la circunferencia que pasa por $H$ y es tangente a $AB$ en $B$, y $\omega_c$ la circunferencia que pasa por $H$ y es tangente a $AC$ en $C$.\n- Prueba que $\omega_b$ y $\omega_c$ solamente tienen a $H$ como punto común.\n- Prueba que la recta que pasa por $H$ y el circuncentro $O$ del triángulo $ABC$ es una tangente común a $\omega_b$ y $\omega_c$.

El banco de Oslo tiene dos tipos distintos de monedas: aluminio (denotado $A$), y bronce (denotado $B$). Marianne tiene $n$ monedas de aluminio y $n$ monedas de bronce en una fila, en orden aleatorio. Una cadena es cualquier subsecuencia de monedas consecutivas del mismo tipo. Dado un entero positivo $k\leq 2n$, Gilberty hace la siguiente operación varias veces: encuentra la cadena más larga que contiene a la $k$-ésima moneda (de izquierda a derecha) y mueve toda la cadena a el extremo izquierdo de la fila. Por ejemplo, si $n=4$ y $k=4$, el proceso empezando desde $AABBBABA$ sería $$AABBBABA \to BBBAAABA \to AAABBBBA \to BBBBAAAA \to ...$$ Encuentra todas las parejas $(n,k)$ con $1\leq k\leq 2n$ tales que para cualquier orden inicial de la fila, en algún momento las $n$ monedas de la izquierda serán todas iguales.

Sea $\mathbb{R}^+$ el conjunto de los reales positivos. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+$ tales que para cada $x\in\mathbb{R}^+$, existe exactamente una $y\in\mathbb{R}^+$ tal que $$xf(y)+yf(x)\leq2.$$