Polos y Polares
Dado un punto $O$ y un punto $P$. Decimos que la polar de $P$ con respecto a $O$ con radio $r$ es la linea $\ell$ tal que si $P'$ es el punto en la linea $OP$ tal que $OP\cdot OP'=r^2$ entonces $\ell$ es la linea perpendicular a $OP$ que pasa por $P'$. Analogamente, dada una linea $\ell$ su polo es el punto $P$ tal que $OP$ es perpendicular a $\ell$ con interseccion en $P'$ y de manera que $OP\cdot OP'=r^2$.
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Lifting the Exponent Lemma
Sea $p$ un primo y $n$ un entero. Definimos $v_p(n)$ como el mayor entero positivo tal que $p^{v_p(n)}\mid n$. Si $p\neq 2$, entonces para cualesquiera enteros $a,b$ tales que $p\mid a-b$ tenemos que $$v_p(a^n-b^n)=v_p(a-b)+v_p(n).$$ Para $p=2$ tenemos $$v_2(a^n-b^n)=v_2(a-b)+v_2(a+b)+v_2(n)-1.$$
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Divisibilidad
Decimos que $a\mid b$ o que un entero $a$ divide a otro entero $b$ si existe un entero $k$ tal que $ak=b$.
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Propiedades de Modulos
Sean $a,b,c,d$ y $n$ enteros y sea $p$ un primo entonces tenemos las siguientes propiedades de congruencias de modulos. 1. (Reflectividad) $a\equiv a\text{ mod } n$. 2. (Linealidad) Si $a\equiv b \text{ mod } n$ y $c\equiv d\text{ mod } n $ entonces $a+b\equiv c+d\text{ mod } n$. 3. (Multiplicatividad) Si $a\equiv b\text{ mod }n$ y $c\equiv d\text{ mod }n$ entonces $ab\equiv cd\text{ mod } n$. 4. (Divisores) Si $a\equiv b \text{ mod } n$ y $m\mid n$ entonces $a\equiv b\text{ mod } m$. 5. (Productos) Si $a\equiv b\text{ mod } n$ entonces $ac\equiv bc \text{ mod } nc$. 6. (Inverso multiplicativo modulo primos) Si $a\not\equiv 0\text{ mod }p$ entonces existe un entero $k$ tal que $ak\equiv 1\text{ mod }p$. Y llamamos a este $k$ como $a^{-1}$ o $\frac{1}{a}$. 7. ('Dividir'modulo primos) Si $ab\equiv cb \text{ mod }p$ entonces $a\equiv c\text{ mod }p$. (Esta ultima propiedad es al multiplicar por el inverso multiplicativo $b^{-1}$.)
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Teorema de Vieta
Sea $$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0=a_n(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)$$ un polinomio con raices $r_1,r_2,\ldots, r_n$. Entonces tenemos las siguientes igualdades para todo $i\leq 0\leq n$ $$\frac{a_i}{a_n}=(-1)^{n-i}\sum r_{c_1}r_{c_2}\cdots r_{c_{n-i}}$$ Donde la suma es sobre todas las permutaciones de $i$ elementos del $1$ al $n$. Por ejemplo: $$\frac{a_0}{a_n}=(-1)^nr_0r_1\cdots r_n, \qquad \frac{a_{n-1}}{a_n}=-r_1-r_2-\cdots -r_n.$$
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IMO 2001 Problema 4
Sea $n$ un entero impar mayor a $1$ y sean $c_1, c_2, \ldots, c_n$ enteros. Para cada permutación $a = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ de $\{1,2,\ldots,n\}$, definimos $S(a) = \sum_{i=1}^n c_i a_i$. Muestra que existen permutaciones distintas $a$ y $b$ de $\{1,2,\ldots,n\}$ tales que $n!$ es divisor de $S(a)-S(b)$.
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OMM 2020 Problema 2
Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. La recta $BI$ se encuentra con $AC$ en $D$. Sea $P$ un punto en $CI$ tal que $DI=DP$, $(P\neq I)$, $E$ el segundo punto de intersección del segmento $BC$ con el circuncírculo de $ABD$ y $Q$ el segundo punto de intersección de la recta $EP$ con el circuncírculo de $AEC$. Demuestra que $\angle PDQ=90^\circ$.
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IMO 2022 Problema 6
Sea $n$ un número entero positivo. Un cuadrado nórdico es un tablero de $n\times n$ que contiene todos los números del $1$ al $n^2$ de modo que cada celda contiene exactamente un número. Dos celdas diferentes son adyacentes si comparten un mismo lado. Una celda que solamente es adyacente a celdas que contienen números mayores se llama un valle. Un camino ascendente es una sucesión de una o más celdas tales que: i. la primera celda de la sucesión es un valle, ii. cada celda subsiguiente de la sucesión es adyacente a la celda anteiror, y iii. los números escritos en las celdas de la sucesión están en orden creciente. Hallar, como función de $n$, el menor número total de caminos ascendentes en un cuadrado nórdico.
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OMM 2019 Problema 3
Sea $n\geq 2$ un número entero. Considera $2n$ puntos alrededor de un círculo. Cada vértice se ha marcado con un número entero desde $1$ hasta $n$, inclusive, y cada uno de estos enteros se ha utilizado exactamente dos veces. Isabel divide los puntos en $n$ pares, y dibuja los segmentos que los unen, con la condición de que estos segmentos no se crucen. A continuación, asigna a cada segmento el mayor número entero entre sus puntos extremos. Muestra que, independientemente de cómo se hayan marcado los puntos, Isabel siempre puede elegir los pares de forma que utilice exactamente $\lceil \frac{n}{2}\rceil$ números para marcar los segmentos. ¿Se pueden etiquetar los puntos de tal manera que, independientemente de cómo Isabel divida los puntos en pares, siempre utilice exactamente $\lceil \frac{n}{2}\rceil$ números para etiquetar los segmentos? Nota: Para cada número real $x$, $\lceil x\rceil$ denota el menor número entero mayor o igual que $x$. Por ejemplo, $\lceil 3.6\rceil=4$ y $\lceil 2\rceil =2$.
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OMM 2019 Problema 4
Una lista de enteros positivos se llama buena si el elemento máximo de la lista aparece exactamente una vez. Una sublista es una lista formada por uno o más elementos consecutivos de una lista. Por ejemplo, la lista $10,34,34,22,30,22$ la sublista $22,30,22$ es buena y $10,34,34,22$ no lo es. Una lista es muy buena si todas sus sublistas son buenas. Encontrar el valor mínimo de $k$ tal que exista una lista muy buena de longitud $2019$ con $k$ valores diferentes en ella.
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