Sea $n\geq 3$ un número entero. En un juego hay $n$ cajas en un círculo. Al principio, cada caja contiene un objeto que puede ser piedra, papel o tijeras, de forma que no hay dos cajas adyacentes con el mismo objeto, y cada objeto aparece en al menos una caja.\nAl igual que en el juego, piedra gana a tijera, tijera gana a papel y papel gana a piedra.\nEl juego consiste en mover objetos de una caja a otra según la siguiente regla:\nSe eligen dos cajas adyacentes y un objeto de cada una de ellas de forma que sean diferentes, y movemos el objeto perdedor a la caja que contiene el objeto ganador. Por ejemplo, si elegimos una piedra de la caja A y unas tijeras de la caja B, movemos las tijeras a la caja A.\nDemuestra que, aplicando la regla suficientes veces, es posible mover todos los objetos a la misma caja.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle ACB \ge 90^\circ$ y sea $D$ el punto de la recta $BC$ tal que $AD$ es perpendicular a $BC$. Considera $\Gamma$ la circunferencia de diámetro $BC$. Una recta que pasa por $D$ es tangente a la circunferencia $\Gamma$ en $P$, corta al lado $AC$ en $M$ (quedando $M$ entre $A$ y $C$ ) y corta al lado $AB$ en $N$. Demuestra que $M$ es punto medio de $DP$ si y solo si $N$ es punto medio de $AB$.

Para cada entero $n\le 0$ con expansion decimal $\overline{a_1a_2\cdots a_{k-1}a_k}$ definimos a $s(n)$ como sigue: Si $k$ es par, $s(n)=\overline{a_1a_2}+\overline{a_3a_4}\cdots+\overline{a_{k-1}a_k}$. Si $k$ es impar, $s(n)=a_1+\overline{a_2a_3}\cdots+\overline{a_{k-1}a_k}$. Por ejemplo, si $n=123$ entonces $s(n)=1+23$ y si $n=2021$ entonces $s(n)=20+21$. Decimos que $n$ es "digital" si $n$ es multiplo de $s(n)$. Muestra que entre cualesquiera $198$ enteros positivos consecutivos, todos ellos menores a $2000021$, hay uno de ellos que es digital.

Sea $n\geq 3$ un número entero. Dos jugadores, Ana y Beto, juegan al siguiente juego. Ana etiqueta los vértices de un $n$-ágono regular con los números del $1$ al $n$, en el orden que quiera. Cada vértice debe ser etiquetado con un número diferente. A continuación, colocamos un guajolote en cada uno de los $n$ vértices. Estos guajolotes se entrenan para lo siguiente. Si Beto silba, cada guajolote se mueve al vértice adyacente con mayor etiqueta. Si Beto aplaude, cada guajolote se mueve al vértice adyacente con la etiqueta menor. Beto gana si, tras un cierto número de silbidos y palmadas, consigue mover todos los guajolotes al mismo vértice. Ana gana si consigue etiquetar los vértices para que Beto no pueda hacerlo. Para cada $n\geq 3$, determina qué jugador tiene una estrategia ganadora.

Sean $m,n\geq 2$ dos enteros. En una cuadrícula de $m\times n$, una hormiga empieza en el cuadrito inferior izquierdo y quiere caminar al camino superior derecho. Cada paso que da la hormiga debe ser a un cuadrito adyacente, y de acuerdo a las siguientes posibilidades: $\uparrow$, $\rightarrow$ y $\nearrow$. Sin embargo, un malvado mago ha dejado caer lava desde arriba de la cuadrícula y ha destruido algunos cuadritos, de forma tal que: - Si un cuadrito está destruido, entonces todos los cuadritos superiores a él también también están destruidos. - El número de cuadritos destruidos es mayor o igual a $0$. - Quedan suficientes cuadritos sin destruir para que la hormiga pueda llegar a la meta. Sea $P$ el número de caminos de longitud par que puede seguir la hormiga. Sea $I$ el número de caminos de longitud impar que puede seguir la hormiga. Encuentra todos los posibles valores de $P-I$.

Un conjunto de $5$ enteros positivos distintos se llama ""virtual"" si el máximo común divisor de cualesquiera tres de sus elementos es mayor que $1$, pero el máximo común divisor de cuatro de ellos es igual a $1$. Demostrar que, en cualquier conjunto virtual, el producto de sus elementos tiene al menos $2020$ divisores positivos distintos.

Un conjunto $\{a,b,c,d\}$ de cuatro enteros positivos se llama "bueno" si hay dos de ellos tales que su producto es múltiplo del mayor común divisor de los dos restantes. Por ejemplo, el conjunto $\{2,4,6,8\}$ es bueno ya que el máximo común divisor de $2$ y $6$ es $2$, y divide a $4\times 8=32$. Encuentra el mayor valor posible de $n$, tal que cualquier conjunto de cuatro elementos con elementos menores o iguales a $n$ sea bueno.

A cada entero positivo se le aplica el siguiente proceso: al número se le resta la suma de sus dígitos, y el resultado se divide entre $9$. Por ejemplo, el proceso aplicado al $938$ es $102$, ya que $\frac{938-(9+3+8)}{9}=102$. Aplicado dos veces el proceso a $938$ se llega a $11$, aplicado tres veces se llega a $1$, y aplicado cuatro veces se llega al $0$. Cuando a un entero positivo $n$ se le aplica el proceso una o varias veces, se termina en $0$. Al número al que se llega antes de llegar al cero, lo llamamos la casa de $n$. ¿ Cuántos números menores que $26000$ tienen la misma casa que el $2012$?

Sean $\mathcal{C}_1$ una circunferencia con centro $O$, $P$ un punto sobre ella y $\ell$ la recta tangente a $\mathcal{C}_1$ en $P$. Considera un punto $Q$ sobre $\ell$, distinto de $O$, y sea $\mathcal{C}_2$ la circunferencia que pasa por $O$, $P$ y $Q$. El segmento $OQ$ interseca a $\mathcal{C}_1$ en $S$ y la recta $PS$ interseca a $\mathcal{C}_2$ en un punto $R$ distinto de $P$. Si $r_1$ y $r_2$ son las longitudes de los radios de $\mathcal{C_1}$ y $\mathcal{C}_2$, respectivamente, muestra que\n$$\frac{PS}{SR}=\frac{r_1}{r_2}$$

Sea $n\geq 4$ un número par. Considera una cuadrícula de $n\times n$. Dos celdas de $1\times 1$ son vecinas si comparten un lado, si están en extremos opuestos de un mismo renglón o si están en extremos opuestos de una misma columna. De esta forma, toda celda en la cuadrícula tiene exactamente cuatro celdas vecinas. En cada celda está escrito un número del $1$ al $4$ de acuerdo con las siguientes reglas: Si en una celda está escrito un $2$ entonces en dos o más celdas vecinas está escrito un $1$. Si en una celda está escrito un $3$ entonces en tres o más celdas vecinas está escrito un $1$. Si en una celda está escrito un $4$ entonces en las cuatro celdas vecinas está escrito un $1$. Entre los acomodos que cumplan las condiciones anteriores, ¿cual el máximo número que se puede obtener sumando los números escritos en todas las celdas?