USAMO 2009 Problema 4
Para \(n \ge 2\), sean \(a_1, a_2, \dots, a_n\) números reales positivos tales que\[(a_1+a_2+ \dots +a_n)\left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots +\frac{1}{a_n} \right) \le \left(n+ \frac{1}{2} \right)^2\]Demuestra que \(\max(a_1, a_2, \dots ,a_n) \le 4 \min(a_1, a_2, \dots , a_n)\).
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AMC 12B 2013 Problema 17
Sean \(a, b,\) y \(c\) números reales tales que\[a+b+c=2, \text{ y}\]\[a^2+b^2+c^2=12\]¿Cuál es la diferencia entre los valores máximos y mínimos posibles de \(c\)?
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Desigualdad MA-MG con Pesos
Sean $w_1,w_2,\cdots, w_n$ y $x_1,x_2,\cdots,x_n$ secuencias de reales positivos y sea $w=w_1+w_2+\cdots +w_n$. Entonces tenemos $$\frac{w_1x_1+w_2x_2+\cdots+w_nx_n}{w}\geq \sqrt[w]{x_1^{w_1}x_2^{w_2}\cdots x_n^{w_n}}$$ La igualdad se da si y solo si todos los $x_i$ son iguales.
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Desigualdad de Schur
Sean $a,b,c$ reales no negativos, y $r>0$ entonces $$a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)\geq 0$$ La igualdad se da cuando $a=b=c$ o cuando uno de los numeros es $0$ y los otros dos iguales.\nEl caso particular de $r=1$ nos da la siguiente desigualdad: $$a^3+b^3+c^3+3abc\geq a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b$$
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Proposiciones básicas de la función φ de Euler
1.- Sea $p$ un número primo y sea $a$ un entero positivo. Entonces $φ(p^a)=p^a-p^{a-1}$.\n\n2.- Sean $a$ y $b$ enteros positivos primos relativos entre si. Entonces $φ(ab)=φ(a)φ(b)$.
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Cálculo de la función φ de Euler
Si $n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}$ es la factorización en primos de $n>1$, entonces$$φ(n)=n\left(1-\cfrac{1}{p_1}\right) \cdots\left(1- \cfrac{1}{p_k}\right).$$
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AIME II 2021 Problema 13
Encuentra el menor entero positivo \(n\) para el cual \(2^n + 5^n - n\) es múltiplo de \(1000\).
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JBMO 1999 Problema 2
Para cada número entero no negativo \(n\) definimos \(A_n = 2^{3n}+3^{6n+2}+5^{6n+2}\). Encuentra el máximo común divisor de los números \(A_0, A_1, \ldots, A_{1999}\).
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AMC 12A 2010 Problema 23
El número obtenido a partir de los últimos dos dígitos no nulos de $90!$ es igual a $n.$ ¿Cuál es el valor de $n$?
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USAMO 2017 Problema 1
Demuestra que hay infinitos pares distintos \((a, b)\) de enteros positivos relativamente primos, con \(a>1\) y \(b>1\), tales que \(a^b+b^a\) es divisible por \(a+b\).\n
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