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17 En un examen, la mediana de las puntuaciones de $10$ estudiantes es $85$. Se elimina la puntuación más alta. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son necesariamente verdaderas? I. Si la nueva mediana es menor que $85$, entonces una de las puntuaciones del examen es $85$. II. Si la nueva mediana no es $85$, entonces ninguna de las puntuaciones del examen es $85$. III. Si una de las puntuaciones del examen es $85$, entonces la nueva mediana es $85$. $\textbf{(A) } \text{I, II y III}\qquad\textbf{(B) }\text{Solo I}\qquad\textbf{(C) }\text{Solo I y II}\qquad\textbf{(D) }\text{Solo III}\qquad\textbf{(E) }\text{Solo II y III}$ Propuesto por pog
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2012 Argentina Tst 2012 P4
La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. BR1F1SZ 781 publicaciones BR1F1SZ #1 h 22 de enero de 2026, 7:51 PM Y por Una varilla de longitud \(200\) se corta en \(N\) piezas, todas de longitudes enteras. Encuentre el valor más pequeño de \(N\) tal que siempre sea posible formar el perímetro de un rectángulo usando todas las \(N\) piezas, independientemente de cómo se corte la varilla. Z K Y
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2008 Middle European Mathematical Olympiad 2008 P3
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 10 de sep. de 2008, 4:41 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario. Sea $ ABC$ un triángulo isósceles con $ AC = BC.$ Su incírculo es tangente a $ AB$ en $ D$ y a $ BC$ en $ E.$ Una recta distinta de $ AE$ pasa por $ A$ e interseca al incírculo en $ F$ y $ G.$ La recta $ AB$ interseca a las rectas $ EF$ y $ EG$ en $ K$ y $ L,$ respectivamente. Demuestre que $ DK = DL.$ Z K Y
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P13
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. YaoAOPS 1983 publicaciones YaoAOPS #1 h 7 de feb. de 2025, 9:50 a. m. • 3 Y Y por ihatemath123, cubres, Ad112358 Alex divide un disco en cuatro cuadrantes con dos diámetros perpendiculares que se intersecan en el centro del disco. Él traza $25$ segmentos de recta adicionales a través del disco, dibujando cada segmento al seleccionar dos puntos al azar en el perímetro del disco en cuadrantes diferentes y conectando estos dos puntos. Encuentre el número esperado de regiones en las que estos $27$ segmentos de recta dividen el disco. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por YaoAOPS, 7 de feb. de 2025, 10:56 a. m. Z K Y
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2025 China Team Selection Test 2025 P18
La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jhz 10 publicaciones jhz #1 h 25 de mar. de 2025, 6:28 p. m. • 3 Y Y por MS_asdfgzxcvb, sky.mty, Oksutok Encuentre el número real $M$ más pequeño tal que existan cuatro números complejos $a,b,c,d$ con $|a|=|b|=|c|=|d|=1$ , y para cualquier número complejo $z$ , si $|z| = 1$ , entonces \[|az^3+bz^2+cz+d|\le M.\] Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por jhz, 25 de mar. de 2025, 6:28 p. m. Z K Y
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P22
22 Los estudiantes Arn, Bob, Cyd, Dan y Eve están dispuestos en ese orden en un círculo. Comienzan a contar: Arn primero, luego Bob, y así sucesivamente. Arn dice el número $121$, después de lo cual cada persona dice un número $4$ o $6$ mayor que el número anterior. Al final, Bob dice el número $169$. ¿Cuántas veces dijo un estudiante un número $4$ mayor que el número anterior? $\textbf{(A) }2\qquad\textbf{(B) }6\qquad\textbf{(C) }9\qquad\textbf{(D) }11\qquad\textbf{(E) }16$ Propuesto por DeToasty3
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P10
La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. blug 163 publicaciones blug #1 h 2 de dic. de 2025, 6:27 a. m. • 1 Y Y por mxsail Se da un cuadrilátero convexo cíclico $ABCD$. Los rayos $AB$ y $DC$ se cortan en $X$. Los rayos $AD$ y $BC$ se cortan en $Y$. Sean $I, J$ los incentros de $BCX$ y $CDY$ respectivamente. Las circunferencias circunscritas de $BCX$ y $CDY$ se cortan de nuevo en $Z\ne C$. Suponga que $CX=CY$. Demuestre que $ZI=ZJ$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por blug, 4 de dic. de 2025, 11:49 a. m. Z K Y
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Junior Balkan Math Olympiad P1999
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Iris Aliaj 165 publicaciones Iris Aliaj #1 h 16 de jun. de 2004, 5:27 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo con $AB=AC$. Además, sea $D\in[BC]$ un punto tal que $BC>BD>DC>0$, y sean $\mathcal{C}_1,\mathcal{C}_2$ los circuncírculos de los triángulos $ABD$ y $ADC$ respectivamente. Sean $BB'$ y $CC'$ diámetros en los dos círculos, y sea $M$ el punto medio de $B'C'$. Demuestre que el área del triángulo $MBC$ es constante (es decir, no depende de la elección del punto $D$). Grecia Z K Y
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2025 China Team Selection Test 2025 P17
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. jhz 10 publicaciones jhz #1 h 25 de mar. de 2025, 7:14 p. m. • 1 Y Y por MS_asdfgzxcvb Demuestre que: existen enteros $x_1,x_2,\cdots x_{10},y_1,y_2,\cdots y_{10}$ que satisfacen las siguientes condiciones: $(1)$ $|x_i|,|y_i|\le 10^{10} $ para todo $1\le i \le 10$ $(2)$ Defina el conjunto \[S = \left\{ \left( \sum_{i=1}^{10} a_i x_i, \sum_{i=1}^{10} a_i y_i \right) : a_1, a_2, \cdots, a_{10} \in \{0, 1\} \right\},\] entonces \(|S| = 1024\), y cualquier franja rectangular de ancho 1 cubre a lo sumo dos puntos de S. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por jhz, 25 de mar. de 2025, 7:17 p. m. Z K Y
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2009 Mediterranean Mathematics Olympiad 2009 P1
La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. bluecarneal 9298 publicaciones bluecarneal #1 h 12 de sep. de 2011, 10:20 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Determine todos los enteros $n\ge1$ para los cuales existen $n$ números reales $x_1,\ldots,x_n$ en el intervalo cerrado $[-4,2]$ tales que se cumplen las siguientes tres condiciones: - la suma de estos números reales es al menos $n$. - la suma de sus cuadrados es a lo sumo $4n$. - la suma de sus cuartas potencias es al menos $34n$. (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria) Z K Y
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