La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. TheMaskedMagician 2955 publicaciones TheMaskedMagician #1 h 8 de junio de 2014, 6:35 PM • 4 Y Y por Adventure10, Mango247 y otros 2 usuarios Demuestre que para todo entero $S\ge100$ existe un entero $P$ para el cual la siguiente historia podría ser cierta: El matemático le pregunta al dueño de la tienda: ``¿Cuánto cuestan la mesa, el gabinete y la estantería?'' El dueño de la tienda responde: ``Cada artículo cuesta una cantidad entera positiva de euros. La mesa es más cara que el gabinete, y el gabinete es más caro que la estantería. La suma de los tres precios es $S$ y su producto es $P$.'' El matemático piensa y se queja: ``¡Esta información no es suficiente para determinar los tres precios!'' (Propuesto por Gerhard Woeginger, Austria) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. EthanWYX2009 1196 publicaciones EthanWYX2009 #1 h 29 de mar. de 2025, 8:50 a. m. • 1 Y Y por MS_asdfgzxcvb Sea \( A \) un conjunto de 2025 números reales positivos. Para un subconjunto \( T \subseteq A \), defina \( M_T \) como la mediana de \( T \) cuando todos los elementos de \( T \) están ordenados de forma creciente, con la convención de que \( M_\emptyset = 0 \). Defina \[ P(A) = \sum_{\substack{T \subseteq A \\ |T| \text{ impar}}} M_T, \quad Q(A) = \sum_{\substack{T \subseteq A \\ |T| \text{ par}}} M_T. \] Encuentre el número real \( C \) más pequeño tal que para cualquier conjunto \( A \) de 2025 números reales positivos, se cumpla la siguiente desigualdad: \[ P(A) - Q(A) \leq C \cdot \max(A), \] donde \(\max(A)\) denota el elemento más grande en \( A \). Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Silverfalcon 5006 publicaciones Silverfalcon #1 h 22 de mar. de 2008, 9:01 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario Si $ xy = 6$ y $ x^2 y + xy^2 + x + y = 63,$ encuentre $ x^2+y^2$ . Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. steven_zhang123 559 publicaciones steven_zhang123 #1 h 28 de mar. de 2025, 6:42 p. m. • 1 Y Y por yofro Sea \( n \) un entero impar, \( m = \frac{n+1}{2} \) . Considere \( 2m \) enteros \( a_1, a_2, \ldots, a_m, b_1, b_2, \ldots, b_m \) tales que para cualesquiera \( 1 \leq i < j \leq m \) , \( a_i \not\equiv a_j \pmod{n} \) y \( b_i \not\equiv b_j \pmod{n} \) . Demuestre que el número de \( k \in \{0, 1, \ldots, n-1\} \) para los cuales se satisface \( a_i + b_j \equiv k \pmod{n} \) para algunos \( i \neq j \) , $i, j \in \left \{ 1,2,\cdots,m \right \} $ es mayor que \( n - \sqrt{n} - \frac{1}{2} \) . Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por steven_zhang123, 28 de mar. de 2025, 6:54 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 10 de sep. de 2008, 4:41 p. m. • 3 Y Y por Adventure10, Mango247 y otro usuario. Sea $ ABC$ un triángulo isósceles con $ AC = BC.$ Su incírculo es tangente a $ AB$ en $ D$ y a $ BC$ en $ E.$ Una recta distinta de $ AE$ pasa por $ A$ e interseca al incírculo en $ F$ y $ G.$ La recta $ AB$ interseca a las rectas $ EF$ y $ EG$ en $ K$ y $ L,$ respectivamente. Demuestre que $ DK = DL.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Sadigly 247 publicaciones Sadigly #1 h 13 de abr. de 2025, 12:54 p. m. • 1 Y Y por farhad.fritl Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$ y $g:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$ tales que $$f(f(x)+yg(x))=(x+1)g(y)+f(y)$$ para todo $x;y\in\mathbb{Q}$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Sadigly, 13 de abr. de 2025, 1:01 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. M4RI0 639 publicaciones M4RI0 #1 h 28 de mayo de 2006, 10:50 AM • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABCD$ un rectángulo con: $AB=a$ , $BC=b$ . Dentro del rectángulo tenemos dos círculos tangentes exteriormente tales que uno es tangente a los lados $AB$ y $AD$ , y el otro es tangente a los lados $CB$ y $CD$ . 1. Encuentre la distancia entre los centros de los círculos (usando $a$ y $b$ ). 2. Cuando los radios de ambos círculos cambian, el punto de tangencia entre ambos cambia y describe un lugar geométrico. Encuentre dicho lugar geométrico. Adjuntos: Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 30 de sep. de 2004, 12:41 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $ABC$ un triángulo con baricentro $G$. Determine, con demostración, la posición del punto $P$ en el plano de $ABC$ tal que $AP{\cdot}AG + BP{\cdot}BG + CP{\cdot}CG$ sea un mínimo, y exprese este valor mínimo en términos de las longitudes de los lados de $ABC$. Adjuntos: Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por orl, 24 de oct. de 2004, 7:05 p. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. EthanWYX2009 1196 publicaciones EthanWYX2009 #1 h 24 de mar. de 2025, 6:54 p. m. • 2 Y Y por yofro, S_2 Encuentre todos los enteros positivos \( m \) para los cuales existe un subconjunto infinito \( A \) de los enteros positivos tal que: para cualesquiera enteros positivos distintos \( a_1, a_2, \cdots, a_m \in A \), la suma \( a_1 + a_2 + \cdots + a_m \) y el producto \( a_1a_2 \cdots a_m \) son ambos libres de cuadrados. Z K Y