La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. r00tsOfUnity 696 publicaciones r00tsOfUnity #1 h 8 de feb. de 2023, 12:35 p. m. • 3 Y Y por Soumya_cena, Princesingh_777, ehuseyinyigit Existe un único entero positivo $a$ para el cual la suma \[U=\sum_{n=1}^{2023}\left\lfloor\dfrac{n^{2}-na}{5}\right\rfloor\] es un entero estrictamente entre $-1000$ y $1000$. Para ese $a$ único, encuentre $a+U$. (Note que $\lfloor x\rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual a $x$.) Z K Y

4 Sea $f: [a,b] \to \mathbb R$ una función dos veces diferenciable con $f''(x)>0$ en $[a,b]$. Demuestre que para todo $z \in (a,b)$ existe algún $c \in [a,b]$ tal que \[f'(z) = \frac{f(c) - f(a)}{c-a} ~ \text{o bien} ~ f'(z) = \frac{f(b) - f(c)}{b-c}\]

3 En el lado $BC$ del triángulo $ABC$, se eligen los puntos $P$ y $Q$ tales que $\measuredangle BAP=\measuredangle ACB$ y $\measuredangle CAQ=\measuredangle ABC$. En la recta $AP$, se elige el punto $N$ tal que $AP=PN$, y en la recta $AQ$, se elige el punto $M$ tal que $AQ=QM$. Demuestre que las rectas $BN$ y $CM$ se cortan en $L$ y que si $K$ es el punto medio del lado $BC$, entonces $\measuredangle BAK=\measuredangle CAL$.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Fermat_Fanatic108 76 publicaciones Fermat_Fanatic108 #1 h 2 de febrero de 2026, 1:43 AM • 1 Y Y por Rounak_iitr Sea $N$ un entero positivo cuya representación decimal es de la forma $xyxyxy$, donde $x,y$ son dígitos. Demuestre que $N$ no es una potencia perfecta, es decir, \[ N \neq a^b \] para cualesquiera enteros $a \ge 1$ y $b>1$. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. YII.I. 94 publicaciones YII.I. #1 h 10 de enero de 2022, 2:37 PM Y por ¿Cuántas reordenaciones $(p_1,p_2,\ldots,p_{1000})$ de la sucesión $1,2,\ldots,1000$ satisfacen que para todo entero $1\leq i\leq 999$, se tiene $i\mid p_i$? Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Amir Hossein, 3 de marzo de 2023, 11:10 AM Z K Y

24 $\{a_m(j)\}_{m \geq 1}$ $(j = 0,1,2,3,4,...)$ es una sucesión doblemente indexada tal que $a_m(j+1) = (a_m(j))^2 + 2a_m(j)$ para todo $n \in \mathbb{N}$ y $a_m(0) = \frac{1}{2^m}$. Encuentre $\lim_{n \longrightarrow \infty} a_n(n)$.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33789 publicaciones parmenides51 #1 h 8 de feb. de 2026, 11:47 p. m. • 1 Y Y por cubres Dado un triángulo acutángulo $ABC$ con incírculo $\omega$, el cual es tangente a $BC$ y $AC$ en $D$ y $E$ respectivamente, y sea $I$ el incentro. $K$ es la proyección de $D$ sobre $AC$ tal que $\overline{KD} \cap \overline{IC} = J$. Se elige un punto $F$ en $BI$ tal que $\angle F AJ = \angle BAI$, además se elige un punto $G \in \overline{BC}$ más cercano a $C$ tal que $GE = EF$. $F', G'$ son respectivamente las proyecciones de dichos puntos sobre $EI$ y $EJ$. Demuestre que $F G \parallel F'G'$. Propuesto por @Half Blood Prince (Inspirado en Serbia 2018) Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 12 de feb. de 2026, 1:48 a. m. Z K Y

23 Sea $ f:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R} $ una función continua tal que $$ \int_0^1 f(x)dx=\int_0^1 xf(x)dx. $$ Demuestre que existe un $ c\in (0,1) $ tal que $ f(c)=\int_0^c f(x)dx. $

Considere la función $f(x)=ax+\frac{1}{x+1}$, donde $a$ es una constante positiva. Sea $L$ el valor más grande de $f(x)$ y $S$ el valor más pequeño de $f(x)$ para $x\in[0,1]$. Demuestre que $L-S>\frac{1}{12}$ para todo $a>0$.

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33789 publicaciones parmenides51 #1 h 6 de febrero de 2026, 3:19 a. m. • 1 Y Y por cubres Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con incentro $I$ y circuncírculo $\Omega$. Sea $X$ un punto en el arco $AB$. Además, en el arco $BC$ se selecciona un punto $S$ tal que las tangentes a $(XAI)$ en $A$ y la tangente al círculo que pasa por $X, S$, llámese $\Gamma$, se intersecan en el punto medio del arco mayor $AC$, llámese $M$. $(AXT ) \cap \Gamma = T \ne X$. $\overline{SA} \cap \overline{BC} = Y$, además $\angle AY C = 2\angle DXT$ con $D \in BC$. Demuestre que $AS$ es tangente a $(XDT )$. Propuesto por @Half Blood Prince Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por parmenides51, 12 de febrero de 2026, 4:56 a. m. Z K Y