La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. YII.I. 94 publicaciones YII.I. #1 h 10 de enero de 2022, 2:38 PM Y por ¿De cuántas maneras se pueden elegir $25$ números del conjunto $1,2,\ldots,50$ tales que, para cualesquiera dos números distintos que elijamos, ninguno sea divisor del otro? Z K Y

2 Sea $N$ un entero positivo. Existen enteros positivos $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{N}$ tales que ninguno de ellos es múltiplo de $2^{N+1}$. Para cada entero $n\geq N+1$, defina $a_{n}$ como sigue: Si el resto de $a_{k}$ al dividirlo por $2^{n}$ es el menor entre los restos de $a_{1}, \cdots, a_{n-1}$ al dividirlos por $2^{n}$, defina $a_{n}=2a_{k}$. Si existen varios enteros $k$ que satisfacen la condición anterior, elija el mayor. Demuestre la existencia de un entero positivo $M$ que satisface $a_{n}=a_{M}$ para $n\geq M$.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. starchan 1626 publicaciones starchan #1 h 6 de mar. de 2024, 10:03 a. m. • 3 Y Y por GeoKing, mxlcv, mxsail Un punto $P$ se mueve a lo largo de un círculo $\Omega$ . Sean $A$ y $B$ dos puntos fijos de $\Omega$ , y $C$ un punto arbitrario dentro de $\Omega$ . Las tangentes exteriores comunes a los circuncírculos de los triángulos $APC$ y $BCP$ se cortan en el punto $Q$ . Demuestre que todos los puntos $Q$ yacen sobre dos rectas fijas. Z K Y

5 Sean $x_{1}, x_{2},\ldots,x_{1000}$ enteros, y $\displaystyle \sum_{i=1}^{1000} x_{i}^{k}$ todos múltiplos de $2017$ para cualquier entero positivo $k \leq 672$. Demuestre que $x_{1}, x_{2},\ldots,x_{1000}$ son todos múltiplos de $2017$. Nota: $2017$ es un número primo.

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. r00tsOfUnity 696 publicaciones r00tsOfUnity #1 h 8 de feb. de 2023, 12:34 p. m. • 1 Y Y por Rounak_iitr Sea $\triangle ABC$ un triángulo equilátero con longitud de lado $55$. Los puntos $D$, $E$ y $F$ yacen sobre los lados $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ y $\overline{AB}$, respectivamente, con $BD=7$, $CE=30$ y $AF=40$. Un punto único $P$ dentro del $\triangle ABC$ tiene la propiedad de que \[\measuredangle AEP=\measuredangle BFP=\measuredangle CDP.\] Encuentre $\tan^{2}\left(\measuredangle AEP\right)$. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por r00tsOfUnity, 9 de feb. de 2023, 11:25 a. m. Razón: redacción Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. YII.I. 94 publicaciones YII.I. #1 h 10 de enero de 2022, 2:34 PM Y por Existe un triángulo rectángulo isósceles $ABC$ con $\angle BAC=90^{\circ}$ y $AB=AC=7$. Tome tres puntos $D,E,F$ en los lados $BC,CA,AB$ respectivamente, tales que $\angle EDF=90^{\circ}$, $DE=5$, $DF=3$. Encuentre la longitud de $BD$. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33789 publicaciones parmenides51 #1 h 12 de feb. de 2026, 1:36 a. m. Y por Dado un $\vartriangle ABC$ con puntos $D, E$ en $AB$ y $AC$ respectivamente, tales que $B, C, D, E$ son concíclicos. Sea $F = BE \cap CD$. El punto $G$ está en la recta $AF$. $(AGD)$ y $(AGE)$ cortan a $(ABC)$ nuevamente en $X, Y$. Demuestre que si $G$ se mueve sobre $AF$, entonces $XY$ pasa por un punto fijo. Propuesto por @ItzsleepyXD Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. kamatadu 562 publicaciones kamatadu #1 h 3 de marzo de 2023, 9:13 PM • 5 Y Y por GeoKing, LoloChen, aansc1729, HoripodoKrishno, Rounak_iitr Sea $ABC$ un triángulo escaleno, $M$ el punto medio de $BC$, $P$ el punto común de $AM$ y el incírculo de $ABC$ más cercano a $A$, y $Q$ el punto común de la semirrecta $AM$ y el excírculo más lejano a $A$. La tangente al incírculo en $P$ corta a $BC$ en el punto $X$, y la tangente al excírculo en $Q$ corta a $BC$ en $Y$. Demuestre que $MX=MY$. Z K Y

1 Dado un número natural $k$ y una sucesión $a_1=2+2016$ , $a_2=2^2+2016$ , $a_3=2^{2^2}+2016$ , $\dots$ , $a_n=\underbrace{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}}_{n}+2016$ , demuestre que si hay al menos dos términos divisibles por $k$ en esta sucesión, entonces hay infinitos.

2025.4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$ y sea $H$ su ortocentro. Sea $T$ un punto arbitrario en el arco menor $BC$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$. Sea la recta que pasa por $H$ paralela a $BC$ que interseca a las rectas $TB$ y $TC$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Las circunferencias circunscritas de los triángulos $PAB$ y $QAC$ se intersecan en los puntos $A$ y $S$. Demuestre que $S$ yace sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $BHC$. Suponiendo que $\angle PAQ = 2\angle BAC$, demuestre que $\angle PAH = \angle HAQ$ o $\angle PAB = \angle BAH$.