Considere la función $f(x)=ax+\frac{1}{x+1}$, donde $a$ es una constante positiva. Sea $L$ el valor más grande de $f(x)$ y $S$ el valor más pequeño de $f(x)$ para $x\in[0,1]$. Demuestre que $L-S>\frac{1}{12}$ para todo $a>0$.