11 Sea $ABC$ un triángulo y sean $A',B',C'$ los puntos medios de $BC,CA,AB$ respectivamente. Sean $P$ y $P'$ puntos en el plano tales que $PA=P'A',PB=P'B',PC=P'C'$. Demuestre que todas las rectas $PP'$ pasan por un punto fijo.

11 Sea $k$ un número natural dado. Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tales que para cada $m,n\in\mathbb{N}$ se cumple lo siguiente: \[ f(m)+f(n)\mid (m+n)^k\] Omid

4 En la siguiente red triangular, la distancia entre dos vértices es la longitud del camino más corto entre ellos. Sean $A_{1},A_{2},\dots,A_{n}$ vértices constantes de la red. Queremos encontrar un vértice en la red cuya suma de distancias a los vértices sea mínima. Comenzamos desde un vértice arbitrario. En cada paso, verificamos los seis vecinos y, si la suma de las distancias a los vértices desde uno de los vecinos es menor que la suma de las distancias desde los vértices en el momento actual, nos movemos a ese vecino. Si tenemos más de una opción, elegimos arbitrariamente, como se observa en la imagen adjunta. Obviamente, el algoritmo termina. a) Demuestre que cuando no podemos realizar ningún movimiento, hemos llegado a la respuesta del problema. b) ¿Este algoritmo llega a la respuesta para cualquier grafo conexo? Omid

4 Para un entero positivo $n,$ sea $a_n$ el entero más cercano a $\sqrt{n}.$ Calcule $$ \frac{1}{a_1 } + \frac{1}{a_2 }+ \cdots + \frac{1}{a_{2004}}.$$

Sea $I$ el incentro del triángulo rectángulo $\Delta ABC$ con $\angle A = 90^\circ$ y sea $M$ el punto medio de $(BC)$. La bisectriz del $\angle BAC$ corta al circuncírculo del $\Delta ABC$ en el punto $W$. El punto $U$ está situado sobre la recta $AB$ tal que las rectas $AB$ y $WU$ son perpendiculares. El punto $P$ está situado sobre la recta $WU$ tal que las rectas $PI$ y $WU$ son perpendiculares. Demuestre que la recta $MP$ biseca al segmento $CI$.

2010.6 Sea $\omega$ la tangente al círculo $\omega$ que pasa por los puntos $A$ y $B$ (que contiene a $\omega$) y sea $X_{AB}$ la tangente al círculo $\omega$ que pasa por los puntos $A$ y $B$ (que contiene a $\omega$). De manera similar, sean $X_{BC}$, $X_{CD}$, $X_{DA}$ (correspondientes a los lados $BC$, $CD$, $DA$). Demuestre que las bisectrices de los ángulos $\measuredangle AX_{AB}B$, $\measuredangle BX_{BC}C$, $\measuredangle CX_{CD}D$ y $\measuredangle DX_{DA}A$ se intersecan en un solo punto.

10 Sea $n$ un entero positivo. Alex juega en una fila de 9 cuadrados de la siguiente manera. Inicialmente, todos los cuadrados están vacíos. En cada turno, Alex debe realizar exactamente uno de los siguientes movimientos: $(i)\:$ Elegir un número de la forma $2^j$, con $j$ un entero no negativo, y colocarlo en un cuadrado vacío. $(ii)\:$ Elegir dos cuadrados (no necesariamente consecutivos) que contengan el mismo número, digamos $2^j$. Reemplazar el número en uno de los cuadrados por $2^{j+1}$ y borrar el número en el otro cuadrado. Al final del juego, un cuadrado contiene el número $2^n$, mientras que los otros cuadrados están vacíos. Determine, como función de $n$, el número máximo de turnos que Alex puede realizar.

9 Para cualesquiera $a_1, a_2, ..., a_n$ positivos, demuestre que se cumple $\frac{a_1}{a_2 + a_3} + \frac{a_2}{a_3 + a_4} + ... + \frac{a_n}{a_1 + a_2} > \frac{n}{4}$.

9 En cada día de su gira por las Indias Occidentales, Sourav y Srinath desayunan una manzana o una naranja. Sourav desayuna naranjas durante los primeros $m$ días, manzanas durante los siguientes $m$ días, seguidas de naranjas durante los siguientes $m$ días, y así sucesivamente. Srinath desayuna naranjas durante los primeros $n$ días, manzanas durante los siguientes $n$ días, seguidas de naranjas durante los siguientes $n$ días, y así sucesivamente. Si $\gcd(m,n)=1$, y si la gira duró $mn$ días, ¿en cuántos días comieron el mismo tipo de fruta?

11 Sean $a,b,c$ los lados de un triángulo tales que $a\geq b \geq c$. Demuestre que: $\sqrt{a(a+b-\sqrt{ab})}+\sqrt{b(a+c-\sqrt{ac})}+\sqrt{c(b+c-\sqrt{bc})}\geq a+b+c$