6 Demuestre que existen infinitos pares de enteros positivos coprimos $a,b$ tales que $a$ divide a $b^2 -5$ y $b$ divide a $a^2 -5.$

12 Suponga que $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ es una función para la cual la expresión $af(a)+bf(b)+2ab$ para todo $a,b \in \mathbb{N}$ es siempre un cuadrado perfecto. Demuestre que $f(a)=a$ para todo $a \in \mathbb{N}$.

2 Demuestre el tercer teorema de Sylow: suponga que $G$ es un grupo y $|G|=p^em$, donde $p$ es un número primo y $(p,m)=1$. Suponga que $a$ es el número de $p$-subgrupos de Sylow de $G$ ($H<G$ tal que $|H|=p^e$). Demuestre que $a|m$ y $p|a-1$. (Sugerencia: puede utilizar lo siguiente: cualesquiera dos $p$-subgrupos de Sylow son conjugados.) (20 puntos)

10 Encuentre el menor valor de $k$ tal que para todo $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ se cumpla la desigualdad \[ \begin{array} c \sqrt{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)} +\sqrt{(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)} +\sqrt{(c^2+1)(d^2+1)(a^2+1)} +\sqrt{(d^2+1)(a^2+1)(b^2+1)} \\ \ \\ \ge 2( ab+bc+cd+da+ac+bd)-k \end{array}\]

11 Sea $ABC$ un triángulo y sean $A',B',C'$ los puntos medios de $BC,CA,AB$ respectivamente. Sean $P$ y $P'$ puntos en el plano tales que $PA=P'A',PB=P'B',PC=P'C'$. Demuestre que todas las rectas $PP'$ pasan por un punto fijo.

1 Resuelva el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x^3 + y^3= 7 \\ xy (x + y) = -2\end{cases}$$

2019.6 Dado un cuadrilátero $ABCD$ que contiene un círculo $\omega$ con centro $I$, las rectas $AD$ y $BC$ se intersecan en el punto $Q$, y las rectas $AB$ y $CD$ se intersecan en el punto $P$, donde el punto $B$ está en el segmento $AP$ y el punto $D$ está en el segmento $AQ$. Sean $X$ e $Y$ los centros de los círculos contenidos en los triángulos $PBD$ y $QBD$. Demuestre que si las rectas $PY$ y $QX$ se intersecan en el punto $R$, entonces $RI \perp BD$.

1 Demuestre que el grupo de simetrías que preservan la orientación del cubo es isomorfo a $S_4$ (el grupo de permutaciones de $\{1,2,3,4\}$). (20 puntos)

2012.2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que $\angle DAC=\angle DCA=\angle ABC$. Sea una recta trazada a través del vértice $D$ y paralela a $AC$ que interseca en los puntos $E$ y $F$, correspondientes a las rectas $BA$ y $BC$. Demuestre que si $CE\cap AF=U$, entonces los cuadriláteros formados por las proyecciones de los lados del cuadrilátero $ABCD$ en el punto $U$ son trapecios isósceles.

1 Sea $n \geq 2$ un entero dado. En cualquier punto $(i, j)$ con $i, j \in\mathbb{ Z}$ escribimos el resto de $i+j$ módulo $n$. Encuentre todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos tales que el rectángulo con vértices $(0, 0)$, $(a, 0)$, $(a, b)$, $(0, b)$ tiene las siguientes propiedades: (i) los restos $0, 1, \ldots , n-1$ escritos en sus puntos interiores aparecen el mismo número de veces; (ii) los restos $0, 1, \ldots , n -1$ escritos en sus puntos de la frontera aparecen el mismo número de veces.