3 Demuestre que para todo entero positivo $n$ existe un número $z$ de $n$ dígitos tal que ninguno de sus dígitos es $0$ y $z$ es divisible por la suma de sus dígitos.

4 $p(x)$ es un polinomio real tal que para todo $x\geq 0$, $p(x)\geq 0$. Demuestre que existen polinomios reales $A(x),B(x)$ tales que $p(x)=A(x)^{2}+xB(x)^{2}$. Omid

11 Sea $ABC$ un triángulo y $P$ un punto exterior en el plano del triángulo. Suponga que las rectas $AP$, $BP$, $CP$ cortan a los lados $BC$, $CA$, $AB$ (o a sus extensiones) en $D$, $E$, $F$, respectivamente. Suponga además que las áreas de los triángulos $PBD$, $PCE$, $PAF$ son todas iguales. Demuestre que cada una de estas áreas es igual al área del propio triángulo $ABC$.

11 Sea $k$ un número natural dado. Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tales que para cada $m,n\in\mathbb{N}$ se cumple lo siguiente: \[ f(m)+f(n)\mid (m+n)^k\] Omid

5 Encuentre el mayor número real $ k$ tal que para cada triángulo rectángulo con lados $ a$ , $ b$ , $ c$ , se tiene \[ a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq k\left(a+b+c\right)^{3}.\] Omid

Dado un tablero de ajedrez de $2020 \times 2020$, ¿cuál es el número máximo de guerreros que se pueden colocar en sus casillas de tal manera que no haya dos guerreros que se ataquen entre sí? Un guerrero es una pieza de ajedrez especial que puede moverse $3$ pasos hacia adelante y un paso hacia un lado, o $2$ pasos hacia adelante y $2$ pasos hacia un lado en cualquier dirección.

9 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Las bisectrices internas de $\angle {BAC}$ y $\angle {BDC}$ se cortan en $P$. $\angle {APB}=\angle {CPD}$. Demuestre que $AB+BD=AC+CD$.

12 Sea $M$ un conjunto no vacío de números reales. Para todo $x \in M$, las funciones $f: M\to M$ y $g: M\to M$ satisfacen las relaciones $f (g (x)) = g (f (x)) = x$ y $f (x) + g (x) = x$. Demuestre que $- x \in M$ y $f (-x) = -f (x)$ para todo $x \in M$.

7 Demuestre que para cualesquiera enteros $n,p$ , $0<n\leq p$ , todas las raíces del siguiente polinomio son reales: \[P_{n,p}(x)=\sum_{j=0}^n {p\choose j}{p\choose {n-j}}x^j\] Jorge

5 Demuestre o refute: $\exists n\in N$ , tal que $324 + 455^n$ es primo.