1 10.1

27 $ S\subset\mathbb N$ se denomina conjunto cuadrado si, para todo $ x,y\in S$ , $ xy+1$ es el cuadrado de un entero. a) ¿Es $ S$ finito? b) Encuentre el número máximo de elementos de $ S$ . Omid

19 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Sean $DAC$, $EAB$ y $FBC$ triángulos isósceles exteriores a $ABC$, con $DA=DC$, $EA=EB$ y $FB=FC$, tales que \[ \angle ADC = 2\angle BAC, \quad \angle BEA= 2 \angle ABC, \quad \angle CFB = 2 \angle ACB. \] Sea $D'$ la intersección de las rectas $DB$ y $EF$, sea $E'$ la intersección de $EC$ y $DF$, y sea $F'$ la intersección de $FA$ y $DE$. Encuentre, con demostración, el valor de la suma \[ \frac{DB}{DD'}+\frac{EC}{EE'}+\frac{FA}{FF'}. \]

10 Sea $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ una función inyectiva y sobreyectiva. La distancia entre $X$ e $Y$ no es menor que la distancia entre $f(X)$ y $f(Y)$. Demuestre que para todo conjunto $A$ en el plano: \[ S(A) \geq S(f(A))\] donde $S(A)$ es el área de $A$. Omid

28 Hay $ n$ puntos en $ \mathbb R^3$ tales que cualesquiera tres de ellos forman un triángulo acutángulo. Encuentre el máximo de $ n$ . Omid

25 Una hormiga camina sobre la superficie interior de un cubo y se mueve en línea recta. Si la hormiga llega a una arista, se mueve en línea recta sobre el desarrollo plano del cubo. Además, si llega a un vértice, regresará por su propio camino. a) Demuestre que para cada punto de inicio, la hormiga puede tener infinitas opciones de dirección tales que su trayectoria se vuelva periódica. b) Demuestre que si la hormiga comienza desde el punto $A$ y su trayectoria es periódica, entonces para cada punto $B$, si la hormiga comienza con esta dirección, su trayectoria se vuelve periódica. Omid

8 Demuestre que los números $18^n$ y $2^n + 18^n$ tienen la misma cantidad de dígitos (escritos en base 10), para todo número natural $n$.

12 Hay una lámpara en el espacio. (Considere la lámpara como un punto). ¿Existen un número finito de esferas iguales en el espacio tales que la luz de la lámpara no pueda ir al infinito? (Si un rayo choca con una esfera, se detiene). Omid

Siete enanos viven en una casa y cada uno tiene su propio sombrero. Una mañana, dos enanos intercambiaron sus sombreros inadvertidamente. En cualquier momento, tres enanos cualesquiera pueden sentarse a la mesa redonda e intercambiar sus sombreros en el sentido de las agujas del reloj. ¿Es posible que para la noche todos los enanos tengan sus propios sombreros?

13 Suponga que $f$ es un polinomio en $\mathbb{Z}[X]$ y $m$ es un entero. Considere la sucesión $a_i$ definida como $a_1=m$ y $a_{i+1}=f(a_i)$. Encuentre todos los polinomios $f$ y todos los enteros $m$ tales que para todo $i$: \[ a_i | a_{i+1}\] Omid