29 Sea $ c\in\mathbb C$ y $ A_c = \{p\in \mathbb C[z]|p(z^2 + c) = p(z)^2 + c\}$ . a) Demuestre que para cada $ c\in C$ , $ A_c$ es infinito. b) Demuestre que si $ p\in A_1$ , y $ p(z_0) = 0$ , entonces $ |z_0| < 1.7$ . c) Demuestre que cada elemento de $ A_c$ es par o impar. Sea $ f_c = z^2 + c\in \mathbb C[z]$ . Observamos fácilmente que $ B_c: = \{z,f_c(z),f_c(f_c(z)),\dots\}$ es un subconjunto de $ A_c$ . Demuestre que en los siguientes casos $ A_c = B_c$ . d) $ |c| > 2$ . e) $ c\in \mathbb Q\backslash\mathbb Z$ . f) $ c$ es un número no algebraico. g) $ c$ es un número real y $ c\not\in [ - 2,\frac14]$ . Omid

4 Encuentre todos los enteros $m$ y $n$ que satisfacen $m^3 -n^3 - 9mn = 27$.

24 En el triángulo $ ABC$ , los puntos $ M,N$ yacen sobre la recta $ AC$ tales que $ MA=AB$ y $ NB=NC$ . Además, $ K,L$ yacen sobre la recta $ BC$ tales que $ KA=KB$ y $ LA=LC$ . Se sabe que $ KL=\frac12{BC}$ y $ MN=AC$ . Encuentre los ángulos del triángulo $ ABC$ . Omid

Sea $n \geq 6$ un entero. Determine el mínimo de $f(n)$ tal que cualquier grafo con $n$ vértices y $f(n)$ aristas contenga dos ciclos que sean distintos (además, que no tengan ningún vértice en común).

16 ¿Es posible encontrar $100$ enteros positivos que no excedan $25,000$, tales que todas sus sumas por parejas sean diferentes?

6 Sea $n$ un entero positivo y $A$ una familia de subconjuntos del conjunto $\{1,2,...,n\},$ ninguno de los cuales contiene a otro subconjunto de $A$. Encuentre la mayor cardinalidad posible de $A$.

5 Sean $a,b$ las longitudes de dos aristas no adyacentes de un tetraedro con inradio $r$. Demuestre que \[r<\frac{ab}{2(a+b)}.\]

8 Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ una permutación de los números $1,2,\ldots,n$, con $n\geq 2$. Determine el mayor valor posible de la suma \[ S(n)=|a_2-a_1|+ |a_3-a_2| + \cdots + |a_n-a_{n-1}| . \] Romania Valentin

1 En el espacio se dan $n$ segmentos $A_iB_i$ y un punto $O$ que no pertenece a ningún segmento, tales que la suma de los ángulos $A_iOB_i$ es menor que $180^o$. Demuestre que existe un plano que pasa por $O$ y no interseca a ninguno de los segmentos.

27 $ S\subset\mathbb N$ se denomina conjunto cuadrado si, para todo $ x,y\in S$ , $ xy+1$ es el cuadrado de un entero. a) ¿Es $ S$ finito? b) Encuentre el número máximo de elementos de $ S$ . Omid