7 Si $a$, $b$, $x$, $y$ son enteros mayores que 1 tales que $a$ y $b$ no tienen factores comunes excepto 1 y $x^a = y^b$, demuestre que $x = n^b$, $y = n^a$ para algún entero $n$ mayor que 1.

8 Suponga que $A_1, \dots, A_6$ son seis conjuntos, cada uno con cuatro elementos, y $B_1, \dots, B_n$ son $n$ conjuntos, cada uno con dos elementos. Sea $S = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_6 = B_1 \cup \cdots \cup B_n$. Dado que cada elemento de $S$ pertenece exactamente a cuatro de los $A$ y exactamente a tres de los $B$, encuentre $n$.

9 Una computadora genera los valores de la expresión $(n+1) \cdot 2^n$ para $n = 1, n = 2, n = 3$, etc. ¿Cuál es el mayor número de valores consecutivos que son cuadrados perfectos?

12 Dos círculos se cortan en dos puntos $A$ y $B$. Una recta $\ell$ que pasa por el punto $A$ corta a los dos círculos nuevamente en los puntos $C$ y $D$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los arcos $BC$ y $BD$ (que no contienen al punto $A$) en los respectivos círculos. Sea $K$ el punto medio del segmento $CD$. Demuestre que $\measuredangle MKN = 90^{\circ}$.

10 Determine todas las funciones $f : \mathbb{R} - [0,1] \to \mathbb{R}$ tales que \[ f(x) + f \left( \dfrac{1}{1-x} \right) = \dfrac{2(1-2x)}{x(1-x)} . \]

12 Suponga que hay 8 bolas blancas y 2 bolas rojas en un paquete. Cada vez se extrae una bola y se reemplaza por una blanca. Encuentre la probabilidad de que la última bola roja sea extraída en la cuarta extracción.

45 Un alfabeto consta de $n$ letras. ¿Cuál es la longitud máxima de una palabra si sabemos que dos letras consecutivas cualesquiera $a,b$ de la palabra son diferentes y que la palabra no puede reducirse a una palabra del tipo $abab$ con $a\neq b$ eliminando letras?

52 Una figura con área $1$ es recortada de papel. Dividimos esta figura en $10$ partes y las coloreamos con $10$ colores diferentes. Ahora, damos la vuelta a la pieza de papel y dividimos la misma figura en el otro lado del papel en $10$ partes nuevamente (de alguna manera diferente). Demuestre que podemos colorear estas nuevas partes con los mismos $10$ colores de nuevo (de modo que partes diferentes tengan colores diferentes) tal que la suma de las áreas de todas las partes de la figura coloreadas con el mismo color en ambos lados sea $\geq \frac{1}{10}.$

8 Hay $10$ objetos con un peso total de $20$, donde cada uno de los pesos es un entero positivo. Dado que ninguno de los pesos excede $10$, demuestre que los diez objetos pueden dividirse en dos grupos que se equilibran entre sí cuando se colocan en los 2 platillos de una balanza.

16 Sea $ n\geq 3 $ un entero y sea $ \mathcal{S} \subset \{1,2,\ldots, n^3\} $ un conjunto con $ 3n^2 $ elementos. Demuestre que existen nueve números distintos $ a_1,a_2,\ldots,a_9 \in \mathcal{S} $ tales que el siguiente sistema tiene una solución en enteros distintos de cero: \begin{eqnarray*} a_1x + a_2y +a_3 z &=& 0 \\ a_4x + a_5 y + a_6 z &=& 0 \\ a_7x + a_8y + a_9z &=& 0. \end{eqnarray*} Marius Cavachi Valentin