10 Para cualquier entero positivo $n$, sea $s(n)$ el número de pares ordenados $(x,y)$ de enteros positivos para los cuales $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{n}$. Determine el conjunto de enteros positivos para los cuales $s(n) = 5$.

11 Determine el valor mínimo de $a^{2} + b^{2}$ cuando $(a,b)$ recorre todos los pares de números reales para los cuales la ecuación \[ x^{4} + ax^{3} + bx^{2} + ax + 1 = 0 \] tiene al menos una raíz real.

3 Sean $a,b,c$ números reales. Considere la ecuación cuadrática en $\cos{x}$ \[ a \cos^2{x}+b \cos{x}+c=0. \] Utilizando los números $a,b,c$, forme una ecuación cuadrática en $\cos{2x}$ cuyas raíces sean las mismas que las de la ecuación original. Compare la ecuación en $\cos{x}$ y $\cos{2x}$ para $a=4$, $b=2$, $c=-1$.

14 $(CZS 3)$ Sean $a$ y $b$ dos números reales positivos. Si $x$ es una solución real de la ecuación $x^2 + px + q = 0$ con coeficientes reales $p$ y $q$ tales que $|p| \le a, |q| \le b,$ demuestre que $|x| \le \frac{1}{2}(a +\sqrt{a^2 + 4b})$. Recíprocamente, si $x$ satisface la desigualdad anterior, demuestre que existen números reales $p$ y $q$ con $|p|\le a, |q|\le b$ tales que $x$ es una de las raíces de la ecuación $x^2+px+ q = 0.$

28 $(GBR 5)$ Sean $u_0 = 0, u_1 = 1$ y para $n\ge 0, u_{n+2} = au_{n+1}+bu_n,$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos. Exprese $u_n$ como un polinomio en $a$ y $b.$ Demuestre el resultado. Dado que $b$ es primo, demuestre que $b$ divide a $a(u_b -1).$

27 $(GBR 4)$ El segmento $AB$ biseca perpendicularmente a $CD$ en $X$. Demuestre que, sujeto a ciertas restricciones, existe un cono circular recto cuyo eje pasa por $X$ y en cuya superficie yacen los puntos $A,B,C,D.$ ¿Cuáles son las restricciones?

11 $(BUL 5)$ Sea $Z$ un conjunto de puntos en el plano. Suponga que existe un par de puntos que no pueden ser unidos por una línea poligonal que no pase por ningún punto de $Z.$ Llamemos a tal par de puntos inunibles. Demuestre que para cada número real $r > 0$ existe un par de puntos inunibles separados por una distancia $r.$

10 $(BUL 4)$ Sea $M$ el punto en el interior del triángulo rectángulo $ABC (\angle C = 90^{\circ})$ tal que $\angle MAB = \angle MBC = \angle MCA =\phi.$ Sea $\Psi$ el ángulo agudo entre las medianas de $AC$ y $BC.$ Demuestre que $\frac{\sin(\phi+\Psi)}{\sin(\phi-\Psi)}= 5.$

12 $(CZS 1)$ Dado un cubo unitario, encuentre el lugar geométrico de los centroides de todos los tetraedros cuyos vértices se encuentran en las aristas del cubo.

10 Demuestre que podemos encontrar un conjunto infinito de enteros positivos de la forma $2^n-3$ (donde $n$ es un entero positivo) tales que cada par de ellos sea primo entre sí.