Funciones Multiplicativas

Teoría

Una función multiplicativa es una función aritmética $f: \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{C}$ que cumple la propiedad $f(mn) = f(m)f(n)$ siempre que $m$ y $n$ sean primos relativos (o sea, $\gcd(m,n) = 1$). Si la condición se cumple para todos los $m, n$ sin importar su máximo común divisor, a la función le decimos completamente multiplicativa. La mayoría de las funciones interesantes en teoría de números, como la función phi de Euler $\phi(n)$, la función suma de divisores $\sigma(n)$ y la función de Möbius $\mu(n)$, son multiplicativas pero no completamente multiplicativas.

El poder de las funciones multiplicativas está en el Teorema Fundamental de la Aritmética. Como cualquier entero $n > 1$ tiene una factorización única en primos $n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$, una función multiplicativa queda totalmente determinada por sus valores en las potencias de primos. Específicamente, $f(n) = f(p_1^{e_1}) f(p_2^{e_2}) \cdots f(p_k^{e_k})$. Esta propiedad reduce la complejidad de evaluar $f(n)$ de ser un problema de un entero arbitrario a un problema mucho más simple que solo involucra potencias de primos.