4 Encuentre todos los pares $(x, y)$ de números reales x e y para los cuales se cumplen las siguientes ecuaciones: $$24x^2 - 25xy - 73x + 25y - 35 = 0 $$ $$x^2 - y^2 - 2x- 2y - 7 = 0$$

2 Dada una recta $g$ y un segmento $AB$, los cuales no yacen en el mismo plano, encuentre un punto $C$ de $g$ tal que el perímetro del triángulo $ABC$ sea lo más pequeño posible.

553 Las cuerdas $AB$ y $CD$ de una esfera se cortan en $X$. $A, C$ y $X$ equidistan de un punto $Y$ en la esfera. Demuestre que $BD$ y $XY$ son perpendiculares.

Un grafo tiene $30$ puntos y cada punto tiene $6$ aristas. Encuentre el número total de ternas tales que cada par de puntos esté unido o cada par de puntos no esté unido.

2 En una velada de baile, cada uno de los caballeros presentes ha bailado con al menos una de las damas presentes y cada una de las damas presentes ha bailado con al menos uno de los caballeros presentes. Ningún caballero ha bailado con todas las damas presentes y ninguna dama ha bailado con todos los caballeros presentes. Debe demostrarse que entre los presentes hubo dos tales damas y dos tales caballeros, de modo que en esa velada cada una de las dos damas bailó con exactamente uno de los dos caballeros, y cada uno de los dos caballeros bailó con exactamente una de las dos damas. Se asume que la velada de baile no se llevó a cabo sin damas ni caballeros, es decir, el conjunto que consiste en todas las damas y caballeros presentes no está vacío.

564 Encuentre todos los $x, y$ reales tales que $$\begin{cases}(1 + x)(1 + x^2)(1 + x^4) = 1+ y^7 \\ (1 + y)(1 + y^2)(1 + y^4) = 1+ x^7 \end{cases}$$

4 Sea $f$ la función cuyo dominio es el conjunto de todas las ternas $(x, y, z)$ de números reales no negativos $x, y, z$ tales que $x + y + z = \pi$, y que asigna a cada una de dichas ternas el número $$f(x, y, z) = \sin^2x + \sin^2y + \sin^2 z.$$ Determine el rango de la función $f$ y demuestre que todo valor en este rango es alcanzado.

3 Un conjunto $M$ de elementos $u, v, w$ se denomina semigrupo si en él está definida una operación que asigna unívocamente un elemento $w$ de $M$ a cada par ordenado $(u, v)$ de elementos de $M$ (se escribe $u \otimes v = w$) y si esta operación algebraica es asociativa, es decir, si para todos los elementos $u, v, w$ de $M$: $$(u \otimes v) \otimes w = u \otimes (v \otimes w).$$ Sea ahora $c$ un número real positivo y sea $M$ el conjunto de todos los números reales no negativos que son menores que $c$. Para cada par de números $u, v$ de $M$ definimos: $$u \otimes v = \dfrac{u + v}{1 + \dfrac{uv}{c^2}}$$ Investigue a) si $M$ es un semigrupo; b) si este semigrupo es regular, es decir, si de $u \otimes v_1 = u \otimes v_2$ siempre se sigue $v_1 = v_2$ y de $v_1 \otimes u = v_2 \otimes u$ también se sigue $v_1 = v_2$.

2 Los ángulos interiores de un triángulo han sido medidos. La suma de los valores medidos $u, v, w$ obtenidos (como aproximaciones de las medidas reales de los ángulos interiores) es $180^o + \delta$ con $\delta \ne 0^o$. Se deben utilizar tres valores de corrección $x, y, z$ para modificar los valores medidos de tal manera que la suma de los valores resultantes $u + x$, $v + y$, $w + z$ sea igual a $180^o$. Demuestre que para todos los posibles valores de corrección $x, y, z$ bajo estas condiciones, el valor $S = x^2 + y^2 + z^2$ es mínimo si y solo si $x = y = z = -\frac{\delta}{3}$.

Se deben especificar todos los números reales $x$ para los cuales existe la expresión $$\frac{2x}{|x -3| - 5} + \frac{1}{x + 2} $$ y, entre estos, se deben determinar todos los $x$ que satisfacen la siguiente desigualdad: $$\frac{2x}{|x -3| - 5} + \frac{1}{x + 2} \ge 1$$