1 Determine todos los números reales $\alpha$ tales que, para todo entero positivo $n,$ el entero $$\lfloor\alpha\rfloor +\lfloor 2\alpha\rfloor +\cdots +\lfloor n\alpha\rfloor$$ sea un múltiplo de $n.$ (Note que $\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual a $z.$ Por ejemplo, $\lfloor -\pi\rfloor =-4$ y $\lfloor 2\rfloor= \lfloor 2.9\rfloor =2.$ ) Propuesto por Santiago Rodríguez, Colombia

3 Sea $a_1, a_2, a_3, \dots$ una sucesión infinita de enteros positivos, y sea $N$ un entero positivo. Suponga que, para cada $n > N$, $a_n$ es igual al número de veces que $a_{n-1}$ aparece en la lista $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Demuestre que al menos una de las sucesiones $a_1, a_3, a_5, \dots$ y $a_2, a_4, a_6, \dots$ es eventualmente periódica. (Una sucesión infinita $b_1, b_2, b_3, \dots$ es eventualmente periódica si existen enteros positivos $p$ y $M$ tales que $b_{m+p} = b_m$ para todo $m \ge M$.)

4 Sea $x > 1$ un número no entero. Demuestre que \[\biggl( \frac{x+\{x\}}{[x]} - \frac{[x]}{x+\{x\}} \biggr) + \biggl( \frac{x+[x]}{ \{x \} } - \frac{ \{ x \}}{x+[x]} \biggr) > \frac 92 \] Amir

3 En el triángulo $ABC$, se dan el ángulo $\alpha = \angle BAC$ y el lado $a = BC$. Suponga que $a = \sqrt{rR}$, donde $r$ es el inradio y $R$ el circunradio. Calcule todas las longitudes posibles de los lados $AB$ y $AC$.

3 Dado un polígono regular de $2013$ lados, ¿cuántos triángulos isósceles existen cuyos vértices sean vértices del polígono dado y tengan un ángulo mayor a $120^o$? Nguyen Tien Lam, Escuela Secundaria de Ciencias Naturales, Universidad Nacional de Hanói.

1 Sean $x \geq y \geq z$ números reales tales que $xy + yz + zx = 1$. Demuestre que $xz < \frac 12$. ¿Es posible mejorar el valor de la constante $\frac 12 \ ?$ Amir

2 Dada la sucesión $(t_n)$ definida como $t_0 = 0$ , $t_1 = 6$ , $t_{n + 2} = 14t_{n + 1} - t_n$ . Demuestre que para todo número $n \ge 1$ , $t_n$ es el área de un triángulo cuyas longitudes de lado son todas números enteros. Dang Hung Thang, Universidad de Ciencias Naturales, Universidad Nacional de Hanoi.

2014.1

1 Sean $AD, BE, CF$ segmentos cuyos puntos medios se encuentran sobre la misma recta $\ell$. Los puntos $X, Y, Z$ yacen sobre las rectas $EF, FD, DE$ respectivamente, tales que $AX \parallel BY \parallel CZ \parallel \ell$. Demuestre que $X, Y, Z$ son colineales. Tran Quang Hung, Escuela Secundaria de Ciencias Naturales, Universidad Nacional de Hanói

5 Determine todas las sucesiones $a_0 , a_1 , a_2 , \ldots$ de enteros positivos con $a_0 \ge 2015$ tales que para todo entero $n\ge 1$ : (i) $a_{n+2}$ es divisible por $a_n$ ; (ii) $|s_{n+1} - (n + 1)a_n | = 1$ , donde $s_{n+1} = a_{n+1} - a_n + a_{n-1} - \cdots + (-1)^{n+1} a_0$ . Propuesto por Pakawut Jiradilok y Warut Suksompong, Tailandia